[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 袋，测得实际质量(单位： )
如下：
甲：
乙：
[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量 的频数分布表.
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量.
根据以上信息，回答下列问题：
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水 平步道 上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为 ，然后沿 方向前进 到达点N处，测得点 的仰角为 .测角仪的高度为 ，
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为 ，(元)，且 ；按照方案二所需费用为 (元) ，且 其函数图象如图所示.
使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 落在边 上，半圆O与另一边 恰好相切，切点为F，则 就把 三等分了.
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.
已知：如图2，点在 同一直线上， 垂足为点B， ▲
求证： ▲
如图，点D是弧 上一动点，线段 点A是线段 的中点，过点C作 ，交 的延长线于点F.当 为等腰三角形时，求线段 的长度.
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
