湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题15 规律问题

下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（    ）

1 4 2 9

2 6 3 20

3 8 4 35

……

a 18 b x

观察下列等式： 根据其中的规律可得 的结果的个位数字是（    ）

下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定x的值为（   ）

观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（    ）

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点 ，作正方形 ；延长 交x轴于点 ，作正方形 …按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（    ）

如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（   ）

已知实数 ，我们把 称为 的差倒数，如：-2的差倒数是 的差倒数是 ．如果 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数．．．依次类推，则 （  ）

下图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以 为起点结六条线 ， 后，再从线 上某点开始按逆时针方向依次在 ， ， ， ， ， …上结网，若将各线上的结点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8、…，那么第2020个结点在（    ）

如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（   ）

在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁ ， 作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂ ， 作正方形A₂B₂C₂C₁ ， …按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）

如图，直线y＝ x， 点A₁坐标为（1，0），过点A₁作x轴的垂线交直线于点B₁ ， 以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交x轴于点A₂；再过点A₂作x轴的垂线交直线于点B₂ ， 以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交x轴于点A₃ ， …，按此做法进行下去，点A₂₀₁₉的坐标为（   ）

如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正八边形“扩展”而来的多边形的边数为（      ）．

在一列数x₁ ， x₂ ， x₃ ， …中，已知x₁=1，且当k≥2时，xk＝xk−1+1−4([]−[])（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x₂₀₁₀等于（   ）

如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P₁ ， 第二次碰到正方形的边时的点为P₂…第n次碰到正方形的边时的点为P_n ， 则P₂₀₁₅的坐标是（　　）

​

如图，已知Rt△ABC中，AC=b，BC=a，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁ ， 连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂ ， 连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃ ， …，如此继续，可以依次得到点D₄ ， D₅ ， …，D_n ， 分别记△BD₁E₁ ， △BD₂E₂ ， △BD₃E₃ ， …，△BD_nE_n的面积为S₁ ， S₂ ， S₃ ， …S_n ． 则S_n为（  ）

观察下面的变化规律：

，……

根据上面的规律计算：

．

如图，将从1开始的正整数按规律排列，例如：位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第6列的数是．

将正偶数按下表排列：

根据上面的规律，则2018所在行是第行．

我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）ⁿ的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）¹⁵的展开式按x的升幂排列得：（s+x）¹⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₅x¹⁵

依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a₂＝；（2）若s＝2，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₅＝．

刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第个．

观察下列几组勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…按此规律，当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是；当直角三角形的最小直角边长是 时，则较长直角边长是．

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x₁ ， 第二个三角形数记为x₂ ， …第n个三角形数记为x_n ， 则x_n+x_n+1=．

请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b）⁶= 

一列数a₁ ，a₂ ，a₃…满足条件a₁＝ ，a_n＝ （n≥2，且n为整数），则a₂₀₁₉＝．

《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为个．

观察下列等式：

， ，

将以上三个等式两边分别相加得： = + + = =

猜想并得出： =

根据以上推理，求出分式方程 的解是．

a是不为1的有理数，我们把 称为的差倒数．如：2的差倒数是 =-1，-1的差倒数是 ．已知a₁=- ，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₁₉=．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点 的坐标为 ，弧 是以点 为圆心， 为半径的圆弧；弧 是以点 为圆心， 为半径的圆弧，弧 是以点 为圆心， 为半径的圆弧，弧 是以点 为圆心， 为半径的圆弧.继续以点 ， ， ， 为圆心按上述作法得到的曲线 …称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是．

两个反比例函数y＝ ，y＝ 在第一象限内的图象如图所示，点P₁ ， P₂ ， P₃…，P₂₀₁₇在反比例函数y＝ 图象上，它们的横坐标分别是x₁ ， x₂ ， x₃…，x₂₀₁₇ ， 纵坐标分别是1，3，5，…，共2017个连续奇数，过点P₁ ， P₂ ， P₃ ， …P₂₀₁₇分别作y轴的平行线，与y＝ 的图象交点依次是Q₁（x₁ ， y₁），Q₂（x₂ ， y₂），Q₃（x₃ ， y₃），…，Q₂₀₁₇（x₂₀₁₇ ， y₂₀₁₇），则y₂₀₁₇＝．

如图，在平面直角坐标系中，点A₁ ， A₂ ， A₃…和B₁ ， B₂ ， B₃ ， …分别在直线y＝ x+b和x轴上．△OA₁B₁ ， △B₁A₂B₂ ， △B₂A₃B₃ ， …都是等腰直角三角形如果点A₁（1，1），那么点A₂₀₁₉的纵坐标是．

取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1.这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证发现都是正确.例如：取自然数5，最少经过下面的5步运算可得1，如图：

请问，如果一个自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= x，点A₁（0，1），过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁ ， 以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交y轴于点A₂；再过点A₂作y轴的垂线交直线l于点B₂ ， 以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交y轴于点A₃ ， …，按此作法进行下去，则OA₂₀₁₇=．

阅读下面的材料并解答后面所给出的问题：

① ；② ．

两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如： 与 ， 与 ．数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了．

观察下列等式：

第一个等式： ；

第二个等式： ；

第三个等式： ；

第四个等式： ；

按上述规律，回答下列问题：