阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI =R -2Rr.
下面是该定理的证明过程(借助了第(2)问的结论):
延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.
∵∠D=∠N,∴∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等),
∴△MDI∽△ANI.∴ ,∴IA×ID=IM×IN①
如图②,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF
∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等),
∴△AIF∽△EDB.
∴ ,∴ ②,
由(2)知: ,
∴
又∵ ,
∴2Rr=(R+d)(R-d),
∴R -d =2Rr
∴d =R -2Rr
任务: