华师大版备考2023中考数学二轮复习专题29 圆的综合问题二

作者UID:11837657

日期: 2024-06-29

二轮复习

综合题

综合与实践

问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为l的扇形 $\text{[math]}$ ，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线 $\text{[math]}$ 在展开图上对应的半径 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的中点．

阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条弦（即折线 $\text{[math]}$ 是圆的一条折弦）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则从点M向 $\text{[math]}$ 所作垂线的垂足D是折弦 $\text{[math]}$ 的中点，即 $\text{[math]}$ ．其部分证明过程如下：

证明：如图2，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

……

任务：

石拱桥是我国古化人民勤劳和w放的结品(如图①)，隋化建造的赵州桥览今约有1400年的历史，是我国古代石拱桥的代表，如图②是根据某石供桥的实物图两出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 $\text{[math]}$ ，桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26m，设 $\text{[math]}$ 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，重足为点D，拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m，连接OB．

如图1，已知 $\text{[math]}$ 的半径为5，弦 $\text{[math]}$ ，点C，D在优弧 $\text{[math]}$ 上（点B，C，D顺时针排列）， $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交弦 $\text{[math]}$ 的延长线于点E.

如图，AB为 $\text{[math]}$ 的直径，点C为AB上方 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ ，点D为AB下方 $\text{[math]}$ 上一点，点E为AD上一点， $\text{[math]}$ ，连接BC，CD，BD.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ，点E在射线 $\text{[math]}$ 的延长线上，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点O，以点O为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 切于点B，交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点M．

如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．

定义：△ABC中， $\text{[math]}$ ，则称△ABC为半余三角形，∠B叫做半余角．

如图，在⊙O中，AB是直径，弧ACB=3弧AP，C是弧PB上一点，过点C做CD⊥AB，垂足是E，交⊙O于D，交AP的延长线于点F，连结CA，CB，PC，PD．

如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合）．

如图，AB为⊙O的弦，P是优弧 $\text{[math]}$ 上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PF⊥AB，交OB于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，连结CE．

如图1，在平面直角坐标系中，点A（-4，0），点B是y轴正半轴上一点，以AB为直径作OM，A与C关于y轴对称，直线CM交OM于点D，E（点E在左侧），交y轴于点F．设OB=a．

如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在 $\text{[math]}$ 上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α．

如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

一个玻璃球体近似半圆 $\text{[math]}$ 为直径，半圆 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处有个吊灯 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$

筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线 $\text{[math]}$ 方向泻至水渠 $\text{[math]}$ ，水渠 $\text{[math]}$ 所在直线与水面 $\text{[math]}$ 平行；设筒车为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于P，Q两点，与直线 $\text{[math]}$ 交于B，C两点，恰有 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 对于点 $\text{[math]}$ 给出如下定义：将点 $\text{[math]}$ 向右 $\text{[math]}$ 或向左 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再向上 $\text{[math]}$ 或向下 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“对应点”．

如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外接圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ．点D为 $\text{[math]}$ 外的一点， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 中点，弦 $\text{[math]}$ 过点E． $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．

如图所示，在 $\text{[math]}$ 的内接 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点P，交 $\text{[math]}$ 于另一点B，C是 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与A，M重合），射线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，分别连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．

如图，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3， $\text{[math]}$ ，DH⊥BC于点H ．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°， $\text{[math]}$ ．

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