2023年中考数学探究性试题复习3 新定义-组卷题库站

单选题

对于任意实数m，n，如果满足 $\text{[math]}$ ，那么称这一对数m，n为“完美数对”，记为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 是“完美数对”，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{-1，2，3}＝ $\text{[math]}$ ， min{-1，2，3}＝-1，max{-2，-1，a}＝ $\text{[math]}$ .

下列判断：

①P $\text{[math]}$ ；②max $\text{[math]}$ ；③若min{2，2x+2，4-2x}＝2，则0＜x＜1；④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；⑤max{x+1，（x-1）² ， 2-x}的最小值为 $\text{[math]}$ .其中正确的是（）

若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是以10为底 $\text{[math]}$ 的对数.记作： $\text{[math]}$ .例如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .对数运算满足：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，

给出下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）

填空题

华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与f的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为 $\text{[math]}$ ．若抛物线 $\text{[math]}$ 与g的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为．

我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：

指数运算	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
新运算	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

根据上表规律，某同学写出了三个式子：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ．

其中正确的是．

若a是不为2的有理数我们把 $\text{[math]}$ 称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的“哈利数”是 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“哈利数”， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“哈利数”， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“哈利数”，以此类推， $\text{[math]}$ ．

对数的定义：一般地，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），那么 $\text{[math]}$ 叫做以 $\text{[math]}$ 为底 $\text{[math]}$ 的对数，记作 $\text{[math]}$ ，比如指数式 $\text{[math]}$ 可以转化为对数式 $\text{[math]}$ ，对数式 $\text{[math]}$ ，可以转化为指数式 $\text{[math]}$ ．计算 $\text{[math]}$ ．

平面直角坐标系中，若点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点 $\text{[math]}$ 的3级派生点是 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．如图点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 级派生点，点A在x轴上，且 $\text{[math]}$ ，则点A的坐标为．

我们规定：使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数a，b为“差积等数对”，记为 $\text{[math]}$ ．例如，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“差积等数对”，若 $\text{[math]}$ 是“差积等数对”，则k的值是．

我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为 $\text{[math]}$ ，其变形后的平行四边形的面积为 $\text{[math]}$ ，那么这个平行四边形的“变形系数”是．

定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，O为坐标原点，对于任意两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 称 $\text{[math]}$ 的值为P、Q两点的“直角距离”．直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于A、B两点，Q为线段 $\text{[math]}$ 上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是．

综合题

定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．

例如，三位正整数234，因为 $\text{[math]}$ ，所以234是“半和数”．

对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交 $\text{[math]}$ 于点D，称线段 $\text{[math]}$ 的长叫做这个三角形的铅垂高；

结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“ $\text{[math]}$ ”．

尝试应用：

定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像的“等值点”.

【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(scop)．如图11-1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作 $\text{[math]}$ ，容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α(0°<∠α<180°)的张率，例如，scop60°＝1，scop90°＝ $\text{[math]}$ ，请根据材料，完成以下问题：

如图11-2，P是线段AB上的一动点(不与点A，B重合)，点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG.

阅读下列材料，按要求解答问题：

阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 $\text{[math]}$ 有整数解c，则将c代入方程得： $\text{[math]}$ ，移项得： $\text{[math]}$ ，即有： $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ 与c及m都是整数，所以c是m的因数．

上述过程说明：整数系数方程 $\text{[math]}$ 的整数解只可能是m的因数．

例如：方程 $\text{[math]}$ 中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程 $\text{[math]}$ 进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．

解决问题：

①根据上面的学习，请你确定方程 $\text{[math]}$ 的整数解只可能是哪几个整数？

②方程 $\text{[math]}$ 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.

阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.

对数的定义：一般地，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），那么x叫做以a为底N的对数，记作 $\text{[math]}$ ，比如指数式 $\text{[math]}$ 可以转化为对数式 $\text{[math]}$ ，对数式 $\text{[math]}$ ，可以转化为指数式 $\text{[math]}$ .

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），理由如下：

设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，由对数的定义得 $\text{[math]}$

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ .

请解决以下问题：

在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．

对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．

例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.

又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.

【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．

【探究】可做如下尝试：

y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．

【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ▲ ；

【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．

①点P的坐标是 ▲ ；

②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．

数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.

材料一：把根式 $\text{[math]}$ 进行化简，若能找到两个数m、n，是 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则把 $\text{[math]}$ 变成 $\text{[math]}$ ，开方，从而使得 $\text{[math]}$ 化简.

例如：化简 $\text{[math]}$

解：∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 $\text{[math]}$ ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ $\text{[math]}$ ，5）的“横负纵变点”为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

请选择合适的材料解决下面的问题：