2023-2024学年北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明同步练习（基础卷）

作者UID:12705080

日期: 2024-11-22

同步测试

单选题

为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为 $\text{[math]}$ 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点 $\text{[math]}$ 记为点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 对应的数是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，直线 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 所截， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

下列是佳宁同学的证明过程：

证明： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ （填依据）．

则下列关于上述证明过程中括号内填依据正确的是（）

A、两直线平行，同位角相等

B、两直线平行，内错角相等

C、同位角相等，两直线平行

D、内错角相等，两直线平行

老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A、在同一平面内，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

B、在同一平面内，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

C、两直线平行，同位角不相等

D、两直线平行，同位角相等

在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的中线，那么可以证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，这里证明全等所使用的判定方法是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明 $\text{[math]}$ ，需要证明 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则这两个三角形全等的依据是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若要证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，还需要补充一个条件，则正确的补充方法是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用4个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形拼成如图所示的大正方形，则用这个图形可以验证的恒等式是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

解答题

观察下列关于自然数的等式：

3²﹣4×1=4+1 ①

5²﹣4×2=16+1 ②

7²﹣4×3=36+1 ③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：

请观察以下算式：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；

……

试写出符合上述规律的第五个算式；

验证：设两个连续奇数为2n+1， $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；

观察下列关于自然数的等式：

2×4﹣1²+1=8

3×5﹣2²+1=12

4×6﹣3²+1=16

5×7﹣4²+1=20

…

利用等式的规律，解答下列问题：

（1）若等式8×10﹣a²+1=b（a，b都为自然数）具有以上规律，则a等于多少，a+b等于多少．

（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并验证它的正确性．

发现：一个三位数的百位上数字为a，十位上数字为(a+1)，个位上数字为(a＋2)；把这个三位数的百位上数字与个位上的数字交换得到一个新三位数，新三位数与原三位数的差是9的倍数．

验证：

观察以下等式：

第1个等式： $\text{[math]}$ ，

第2个等式： $\text{[math]}$ ，

第3个等式： $\text{[math]}$ ，

……

按照以上规律，解决下列问题：

已知x≠1．观察下列等式：

(1-x)(1+x)=1-x² ；

(1-x)(1+x+x²)=1-x³；

(1-x)(1+x+x²+x³)=1-x⁴；

实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．

有三个多项式：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，请挑选其中两个多项式，满足所挑选的两个多项式的和是单项式，并加以验证（只要求写出一种正确的选法）.

美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”．如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理．

发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数的平方和．

验证：

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ .猜想 $\text{[math]}$ 等于什么，并通过计算验证你的猜想.

阅读下列材料：

小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：

小铭：“我知道一般当m≠n时， $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ .可是我见到有这样一个神奇的等式：

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”

小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”

完成下列任务：

发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；

验证：

据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图彤，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为”洛书”，即现在的三阶幻方。三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等．不信，我们来验证一下．

一般地，一个n行n列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方．

请将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．

想一想：这9个数与原来9个数有什么关系?这9个数可以由原来9个数怎么变过来?

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