备考2024年中考数学探究性训练专题1 数、式规律

观察下列两行数：

1，3，5，7，9，11，13，15，17，…

1，4，7，10，13，16，19，22，25，…

探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（   ）

观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x² ， 5x³ ， 7x⁴ ， 9x⁵ ， 11x⁶ ， ….按照上述规律，第2021个单项式是（　　）

在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式 ， ， ；第2次操作后得到4个整式 ， ， ， ……其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（ ）

如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， ……根据这个规律，探究可得点 的坐标是（    ）

幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出 ， ， 则（ ）

如果正整数a、b、c满足等式 ，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）

仔细观察，探究规律：

则算式 值的个位数字为（    ）

小苗探究了一道有关分式的规律题， ， ， ， ， ， ， ， …请按照此规律在横线上补写出第6个分式．

两小朋友在玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、…逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的斐波拉契数列），请你认真观察这一列数规律，探究一下，上11级台阶共有种上法.

观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：

-2，4，-8，16，-32，64，…①

0，7，-4，21，-26，71，…②

根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为.

下列是一些两位数减法运算：

，

观察上述算式及其计算结果，对两位数减法运算中的某种特殊情形进行探究：

小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的的值代入计算， 其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则的值为．

已知、、为非零有理数，请你探究以下问题：

发现：当两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．

验证：如，能被4整除，请把3与1的积写成两个正整数的平方差；

探究：设“发现”中两个正整数分别为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 ＋ ＝5的过程.

解：设 ﹣ ＝m，与原方程相乘得：

（ ＋ ）×（ ）＝5m，

x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，

∴ ﹣ ＝1，与原方程相加得：

（ ＋ ）+（ ）＝5＋1，

2 ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根.

学习借鉴解法，解方程 ﹣ ＝1.

学习完数轴以后，喜欢探索的小聪在纸上画了一个数轴（如图所示），并进行下列操作探究： 

探究题：阅读下列材料，规定一种运 ， 例如 ， 再如 ， 按照这种运算的规定，请解答下列问题：

 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道： ， 它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是 ， 那么有谁能说出它的小数部分是多少？”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法现请你根据小明的说法解答：

探究与应用

我们学习过（x-1）（x+1）＝x²-1，那么（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）计算结果呢？

完成下面的探究：

探究题：

小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：

探究与发现

观察下列等式的规律，解答下列问题；

， ， ， ， ， …

 综合与探究

观察以下各式：

（x﹣y）（x+y）＝x²﹣y² ．

（x﹣y）（x²+xy+y²）＝x³﹣y³ ．

（x﹣y）（x³+x²y+xy²+y³）＝x⁴﹣y⁴ ．

（x﹣y）（x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴）＝x⁵﹣y⁵ ．

请回答以下问题：

探究应用：

小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

乘法公式的探究及应用.

在数学探究课上，老师布置如下活动：用若干个大小一样的小矩形拼成一个大矩形，探究图中包含的矩形（含正方形）个数，如图1，是由两个小矩形组成的一个图形，该图中共有3个矩形．尝试解决以下问题：

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

实际问题：

各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？

问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。

在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？

为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．

探究一：

在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？

第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．

第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．

综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有种不同的取法．

探究二：

在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？

第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．

第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．

综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有种不同的取法．

探究三：

在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）

探究四：

在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有      ▲ 种不同的取法．

探究五：

在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．

探究六：

在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．

问题解决：

①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有      ▲ 个；

②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有      ▲ 个．