备考2024年中考数学探究性训练专题14 反比例函数-组卷题库站

选择题

A、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

小明使用图形计算器探究函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（　　）

在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l₁和l₂ ，探究直线l₁ ，直线l₂与双曲线y= $\text{[math]}$ 的关系，下列结论错误的是（）

A、两直线中总有一条与双曲线相交

B、当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等

C、当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧

D、当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2

某学习小组，在探究1+ $\text{[math]}$ 的性质时，得到了如下数据：

x	1	10	100	1000	10000	…
1+ $\text{[math]}$	3	1.2	1.02	1.002	1.0002	…

根据表格中的数据，做出了四个推测：

①1+ $\text{[math]}$ （x＞0）的值随着x的增大而减小；

②1+ $\text{[math]}$ （x＞0）的值有可能等于1；

③1+ $\text{[math]}$ （x＞0）的值随着x的增大越来越接近于1；

④1+ $\text{[math]}$ （x＞0）的值最大值是3．则推测正确的有（　　）

填空题

如图1，点 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上一点，连接$OA$，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，小明通过对 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的关系展开探究，发现 $\text{[math]}$ 的值为；如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ，依此进行下去.记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线 $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ ，在l上取一点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交双曲线于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交l于点 $\text{[math]}$ ，请继续操作并探究：过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交双曲线于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交l于点 $\text{[math]}$ ，…，这样依次得到l上的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，…，记点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 $\text{[math]}$ 不能取的值是．

理论探究题

对于某些函数，由自变量的大小关系确定函数值的大小关系，不仅可以利用函数的图象判断，也可以用代数的方法判断，这是“数形结合”思想的典型应用．

数形结合探究题

某数学学习小组在研究函数 $\text{[math]}$ 时，对函数的图象和性质进行了探究．

探究过程如下：

有这样一个问题：探究函数y= $\text{[math]}$ 的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数y= $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：

启航同学根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究.下面是他的探究过程，请补充完成：

九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后，进一步研究了函数 $\text{[math]}$ 的图像与性质，其探究过程如下：

综合与探究

如图，已知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为B点关于 $\text{[math]}$ 的对称点，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过D点．

在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点 $\text{[math]}$ ，我们把点B $\text{[math]}$ 称为点A的“倒数点”．

背景：点A在反比例函数y= $\text{[math]}$ （k>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形.如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3.

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.

阅读材料：

已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.

综合与探究：如图，一次函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A(-5，0)，C(0，6)，反比例函数图象 L₁ 对应的函数表达式为 $\text{[math]}$ 反比例函数图象 L₂ 对应的函数表达式为 $\text{[math]}$ 把矩形 ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.

阅读理解：

在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x₁ ， y₁)，点N的坐标为(x₂ ， y₂)，且x₁≠x₂ ， y₁≠y₂ ，若M，N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M，N的“相关矩形”．如图中的矩形为点M，N的“相关矩形”。

如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“ $\text{[math]}$ 的l镜像”．

阅读材料，用配方法求最值.

已知a，b为非负实数，∵ $\text{[math]}$ 0，

∴ $\text{[math]}$ ，当且仅当“a＝b”时，等号成立.示例：当x＞0时，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

解： $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，即x＝2时，y的最小值为5.

实践探究题

阅读与思考

下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．

第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．

第二步，整理数据．

$\text{[math]}$	…	3	6	9	12	15	…
$\text{[math]}$	…	3	1.5	1	0.75	0.7	…

第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．

在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．

任务：

在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮。设选用小灯泡的电阻为 R(Ω)，通过的电流强度为I(A)(欧姆定律公式： $\text{[math]}$ ）

如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘 $\text{[math]}$ 中放置一个重物，在右边活动托盘 $\text{[math]}$ （可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，观察活动托盘 $\text{[math]}$ 中砝码的质量 $\text{[math]}$ 的变化情况．实验数据记录如表

$\text{[math]}$	10	15	20	25	30
$\text{[math]}$	30	20	15	12	10

阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．

R/Ω	…	3	6	9	12	15	…
P/W	…	3	1.5	1	0.75	0.7	…

第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．

任务：

模具长计划生产面积为9，周长为m的矩形模具，对于m的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

【综合实践】

如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图，即F_A×L₁＝F_B×L₂），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L₁＝1m ，距右端L₂＝0.4m ，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A ．

确定有效消毒的时间段

背景素材

预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足 $\text{[math]}$ 的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．

x	…	0.5	1	1.5	2	2.5	3	…
y	…	2.5	3	3.5	4	3.2	2.67	…

问题解决

【问题背景】

数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：将长为 $\text{[math]}$ 的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端 $\text{[math]}$ 固定在桌面上，图乙是示意图.如图丙所示，将铅笔AB绕端点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，AB与OF交于点 $\text{[math]}$ ，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合.

【项目式学习】

项目主题：守护生命，“数”说安全．

项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．