备考2024年中考数学探究性训练专题18 相交线与平行线

小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l₁、l₂互相平行，l₃、l₄、I₅三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）

在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（ ）

①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等．

在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ）

加强对课本习题的探究，对解题有很好的指导作用.如课本第82页有这样一题，如图，AD//BC，BD平分∠ABC，求证：AB=AD.

可将这个题目归纳为：平行加角平分线，得到等腰三角形.请利用这个结论解题：如图，已知△ABC中，I是∠A，∠B，∠C的平分线的交点，AB=6，BC=5，AC=4.平移∠A，使点A与点I重合，两边分别交BC于D，E两点，则△IDE的周长为（ ）

       

在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有（直接写序号即可）．

①；②若 ， 则；③若 ， 则；④若 ， 则 ．

探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线 ，两点 、 在 上， 于 ， 于 ，则 ．

如图2，已知直线 ， 、 为直线 上的两点， 、 为直线 上的两点．

观察下面图形，按要求找角（不含平角），如图①，两条直线交于同一点O，共有对对顶角；如图②，三条直线交于同一点O，共有对对顶角；探究：若有 条直线相交于同一点，则可形成对对顶角．

在数学探究活动中，“创新”小组进行了如下操作：如图，将矩形纸片ABCD的一角沿过点C的直线折叠，使得点B落在边AD的点H处，再将另一角沿过点C的直线折叠，使得点D落在CH的点Q处，两次折叠的折痕分别为CE、CF。请完成以下探究：

（问题探究）如图1， ，直线 ，垂足为 ，交 于点 ，点 到直线 的距离为2，点 到 的距离为1， ， ，则 的最小值是；（提示：将线段 沿 方向平移1个单位长度即可解决，如图2所示.）

（关联运用）如图3，在等腰 和等腰 中， ， 在直线 上， ，连接 、 ，则 的最小值是.

   

小冬阅读了教材中“借助三角尺画角”的探究活动（如图1、图2的实物图所示），他在老师指导下画出了图1所对应的几何图形，并标注了所使用三角尺的相应角度（如图3），他发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．

请你借助三角尺完成以下画图，并标注所使用三角尺的相应角度．

感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，求DE的长

小明在一组平行线中作角，探究两边与平行线形成的锐角的数量关系．

  

综合与探究

【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB，∠EDF=90，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系。

【探究发现】

如图，已知格线相互平行，小明在格线中作∠AOB、∠CPD、∠EOF，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系.

综合与探究

直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！

【问题探究】

在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究.

 

【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：

小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.

综合与探究

数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，

如图1，已知直线 ， 直角三角板中， ， ．

某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：

数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：

综合探究

如图，在中， ， 是的平分线，是边上的高，垂足为 ， 设 ．

某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边中， ， 点在射线上运动，连接 ， 以为一边在右侧作等边 ．

【问题背景】

如图， ． 连接 ， 点E，F在上，且 ， 连接 ， 且 ．

【问题探究】

某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形 ， 按如图1的方式摆放， ． 该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中， ． 请根据他们的叙述条件完成题目．

问题情境：在数学探究活动课上，老师让同学们以“两条平行线 ， 和一块含30°角的直角三角板”为主题开展数学探究活动．

 

数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出的度数；