备考2024年中考数学探究性训练专题23 图形的旋转

如图，正方形边长为4，点E在边上运动，在的左侧作等腰直角三角形 ， ， 连接.喜欢探究的小亮通过独立思考，得到以下两个结论：①当点E与点D重合时，；②当线段最短时，.下列判断正确的是（ ）

一副三角板如图所示，叠放在一起.若固定△AOB，将△ACD绕着公共点A按顺时针方向旋转α度(0＜α＜180).请你探索，当△ACD的一边与△AOB的一边平行时，相应的旋转角α的度数.

如图，Rt△BAC， ∠ACB=30°，∠BAC=90°，将Rt△BAC绕点A旋转一定度数，点C与点C'重合，点B与点B'重合，当C、B、C'三点在同一条直线时，请完成下列探究：

如图，是正方形内点，且 ， 将绕点逆时针旋转得到 ， 连接交于点 ， 请完成下列探究：

四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG， ， ， 试探究：

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=-x(x-3)(0≤x≤3) 在x轴上方部分记作C₁ ， 它与x轴交于点O，A₁ ， 将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ， C₂与x 轴交于另一点A₂ ． 继续操作并探究：将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ， 与x 轴交于另一点A₃；将C₃绕点A ₂旋转180°得C₄ ， 与x 轴交于另一点A₄ ， 这样依次得到x轴上的点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ， …，及抛物线C₁ ， C₂ ， …，C_n ， …．则点A₄的坐标为；C_n的顶点坐标为(n为正整数，用含n的代数式表示) ．

问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中， ， 点E是射线上一点（不与点C重合），连接 ， 将绕点E顺时针旋转得到 ， 连接 ．

 

如图①．四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．

 如图，在正方形中，E、F分别是边、上的两点，且 ， 、分别交正方形的对角线于G、H两点，将绕点A顺时针旋转90°后，得到 ， 连接 ．

  

通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E ， F分别在正方形ABCD的边BC ， CD上，∠EAF＝45°，连接EF ， 则EF＝BE＋DF ， 试说明理由．

【问题情境】
如图 ， 点为正方形内一点， ， 将绕点按顺时针方向旋转 ， 得到点的对应点为点延长交于点 ， 连接 ．

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE ．

【发现证明】如图(1)所示，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，在判断BE，EF，FD之间的数量关系时，小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD.

把两个等腰直角三角形和按图①所示的位置摆放，将绕点C逆时针旋转（）到图②所示位置，连接 ， ．

已知是等腰三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到 ， 点、点的对应点分别是点、点 ．

 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 

如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ， 且 ． 对此，我们可以用演绎推理给出证明无需证明

 

综合与实践

如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC 上，GE⊥BC ， 垂足为E ， GF⊥CD ， 垂足为F ．

综合与实践：

   

综合与实践

问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点 ， ， ， 现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为 ， 连接 ， ．

 

图1图2图3

已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠MAN的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠MAN = 60*．

   

问题解决

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点， ， ， .你能求出的度数和等边的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

如图①将绕点B逆时针旋转 ， 得到 ， 连接 ， 可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决.

 如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．易证四边形CEGP是正方形．

综合与实践

  

定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．

              

综合与实践

问题情境：

在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 ， 在矩形纸片中， ， ， 将矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的直角三角形纸片和 ， 将固定不动，绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到 ， 其中点的对应点为点 ， 点的对应点为点 ． 如图 ， 当点落在边上时，连结 ， 求的长．