备考2024年中考数学核心素养专题二十四函数的应用型问题-组卷题库站

选择题

皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 内部的格点个数是（）

某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为y，购买人数记为x，其函数图象如图1所示．由于日前该产品盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2，图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确说法的序号是（　　）

①图2对应的方案是：保持销售价格不变，并降低成本；

②图2对应的方案是：提高销售价格，并提高成本；

③图3对应的方案是：提高销售价格，并降低成本

④图3对应的方案是：提高销售价格，并保持成本不变

某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 $\text{[math]}$ （如图 1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数 $\text{[math]}$ 换算为人的质量 $\text{[math]}$ ），已知 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的变化而变化（如图 2）， $\text{[math]}$ 与踏板上人的质量 $\text{[math]}$ 的关系见图3. 则下列说法不正确的是（）

A、在一定范围内， $\text{[math]}$ 越大， $\text{[math]}$ 越小

B、当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的阻值为 $\text{[math]}$

C、当踏板上人的质量为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

D、若电压表量程为 $\text{[math]}$ ，为保护电压表，该电子体重科可称的最大质量是 $\text{[math]}$

如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点О并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点25cm（L₁=25cm）处挂一个重9.8N（F₁=9.8N）的物体，在中点О的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点О的距离L（cm）及弹簧秤的示数F（N）满足FL=F₁L₁ ，以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系.则F关于L的函数图象大致是（）

近视眼镜的度数 $\text{[math]}$ （度）与镜片焦距 $\text{[math]}$ （m）成反比例，已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，若某近视眼镜片的焦距为0.25m，则该眼镜片的度数为（）

如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：

①AB的长可以为6m；

②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m²；

③菜园ABCD面积的最大值为200m².

其中正确的是（）

在 $\text{[math]}$ 年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 $\text{[math]}$ 单位：米 $\text{[math]}$ 与飞行的水平距离 $\text{[math]}$ 单位：米 $\text{[math]}$ 之间具有函数关系 $\text{[math]}$ ，则小康这次实心球训练的成绩为（）

A、 $\text{[math]}$ 米

B、 $\text{[math]}$ 米

C、 $\text{[math]}$ 米

D、 $\text{[math]}$ 米

如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面 $\text{[math]}$ 时，水面宽 $\text{[math]}$ ，当水面宽增加 $\text{[math]}$ 时，则水面应下降的高度是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（）

A、水流运行轨迹满足函数 $\text{[math]}$

B、水流喷射的最远水平距离是40米

C、喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米

D、若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌

填空题

漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 $\text{[math]}$ 是时间 $\text{[math]}$ 的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个 $\text{[math]}$ 的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，对应的时间 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	…	1	2	3	5	…
$\text{[math]}$	…	2.4	2.8	3.4	4	…

某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李千克．

调查显示，某商场一款小型电器的销售量是售价的反比例函数，（调查获得的部分数据如下表）．

售价x（元/台）	200	250	400	500
销售量y（台）	40	32	20	16

已知该小型电器的进价为180元/台，要使该小型电器每天的销售利润达到3500元，其售价应定为元．

某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $\text{[math]}$ 是气体体积 $\text{[math]}$ 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于 $\text{[math]}$ 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积 $\text{[math]}$ 的取值范围．

某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x ，则第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式为．

某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克，经调查，售价每降0.1元，每天多卖40千克，另外，每天的其它固定成本24元.当定价为元能获得最大利润，最大利润是元.

解答题

根据信息完成下列各题．

一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文．

某校信息兴趣小组，编制了一套密码．如表： x表示明文，y表示密文，且x为非负整数．

	6	9	13	14
y	13	?	0	2

已知当0≤x≤12时，加密密钥为y=2x+1，当13≤x≤25时，加密密钥为y=mx +n (m≠n，n≠1，且m≠0)．

为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

某校科技小组进行野外考察时，为了安全、迅速通过一片十几米宽的烂泥湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道.木板对地面的压强 p(Pa)是木板面积S(m²)的反比例函数.

某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x(0＜x＜20，x是整数）元．

根据数学知识，完成下列问题．

综合题

在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘 $\text{[math]}$ （固定）中放置一个物体，在右边托盘 $\text{[math]}$ （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为 $\text{[math]}$ ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ），记录容器中加入的水的质量，得到下表：

托盘 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$	30	25	20	15	10
容器与水的总质量 $\text{[math]}$	10	12	15	20	30
加入的水的质量 $\text{[math]}$	5	7	10	15	25

把上表中的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象．

如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强 $\text{[math]}$ 与受力面积 $\text{[math]}$ 的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．

桌面所受压强p（Pa）	100	200	400	500	800
受力面积 $\text{[math]}$	2	1	0.5	0.4	0.25

长为 $\text{[math]}$ 的春游队伍，以 $\text{[math]}$ 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 $\text{[math]}$ ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为 $\text{[math]}$ ，排头与O的距离为 $\text{[math]}$

某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系如图中折线AB-BC-CD所示（不包括端点A）．

春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.

自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线 $\text{[math]}$ 表示．

为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第 $\text{[math]}$ 天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为 $\text{[math]}$ 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是 $\text{[math]}$ 元．

甲、乙两个工程队修筑一条公路，甲队从南向北方向修筑，乙队从北向南方向修筑 $\text{[math]}$ 甲、乙两队同时开工，乙队施工几天后因另有任务提前离开，甲队继续修筑公路 $\text{[math]}$ 当乙队任务完成后，因赶时间，乙队回来继续修筑公路，直到公路修通 $\text{[math]}$ 在修路过程中，甲、乙两队的工作效率保持不变 $\text{[math]}$ 设甲、乙两队修筑公路的长度为 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ ，施工时间为 $\text{[math]}$ 天 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数图象如图所示．

实践探究题

根据以下素材，探索完成任务

如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案?
素材1	图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽 $\text{[math]}$ ，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2	为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）

任务1	确定桥拱形状	根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2	拟定设计方案	求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3	探究救生绳长度	当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）

问题解决

用各种盛水容器可以打造精美的家用流水景观(如图甲所示).

科学原理：如图乙所示，始终盛满水的圆柱形水桶的水面离地面的高度为 $\text{[math]}$ ，如果在与水面竖直距离为 $\text{[math]}$ 的地方开一个大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ .

应用思考：现用高度为 $\text{[math]}$ 的圆柱形塑料水瓶做相关研究，水瓶竖直立于地面，通过与注水管相连保证它始终盛满水，在与水面竖直距离为 $\text{[math]}$ 处开一个大小合适的小孔.

根据以下素材，探究完成任务．

如何把实心球掷得更远？

素材1：小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面 $\text{[math]}$ ，当球到OA的水平距离为 $\text{[math]}$ 时，达到最大高度为 $\text{[math]}$ ．

素材2：根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方 $\text{[math]}$ 处（如图）架起距离地面高为 $\text{[math]}$ 的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离 $\text{[math]}$ ．

问题解决

根据背景素材，探索解决问题．

自制杆秤
背景素材	有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： $\text{[math]}$ ．其中秤盘质量m₀克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
	设计简易杆秤要求：设定m₀=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
问题解决
任务一	确定 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值	⑴当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方程． ⑵当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方程． ⑶根据（1）和（2）所列方程，求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．
任务二	确定刻线的位置	⑷根据任务一，求y关于m的函数解析式． ⑸从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．

《蔬菜大棚的设计》
驱动问题	1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？
项目背景	蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
数学建模	如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）
问题解决	如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．
问题解决	为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．

备考2024年中考数学核心素养专题二十四 函数的应用型问题

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