2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破7 配方法的应用

我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．

例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x²﹣12x+14的值的范围．

解：2x²﹣12x+14=2（x²﹣6x）+14=2（x²﹣6x+3²﹣3²）+14

=2[（x﹣3）²﹣9]+14=2（x﹣3）²﹣18+14=2（x﹣3）²﹣4．

∵无论x取何实数，总有（x﹣3）²≥0，∴2（x﹣3）²﹣4≥﹣4．

即无论x取何实数，2x²﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数．

问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x²+12x+11的最值情况是（   ）

关于多项式﹣2x²+8x+5的说法正确的是（　　）

代数式 的最小值是（    ）

小明和小林在探索代数式x²+(x≠0)有没有最大（小）值时，小明做了如下探索：

∵x²++2-2 =(x+)²-2≥-2，

∴小明的结论是x²+的最小值为-2

小林做了如下探索

∵x²+-2+2 =(x-)²+2≥2，

小林的结论是x²+的最小值为2；则（ ）

设 ， 为实数，多项式展开后的一次项系数为 ， 多项式展开后的一次项系数为：若 ， 且 ， 均为正整数，则（ ）

不论x，y取何值，代数式的值（    ）

利用可求某些整式的最值．例如， ， 由知，当时，多项式有最小值 ． 对于多项式 ， 当 时，有最小值是 ．

配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．

例如：求代数式的最值．

解：

（分离常数项）

（提二次项系数）

当时，代数式取得最小值是3

运用以上方法，解答下列问题：

[阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用．

例1：用配方法因式分解： ．

原式

例2：求的最小值．

解：；

由于 ， 所以 ，

即的最小值为5．

阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．

（一）用配方法因式分解： ．

解：原式

     

     

     

（二）用配方法求代数式的最小值．

解：原式

     

∵ ， ∴ ， ∴的最小值为 ．

【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．

例1 用配方法因式分解：a²＋6a＋8．

原式＝ a²＋6a＋9－1＝（a＋3）²－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．

例2若M＝a²－2ab＋2b²－2b＋2，利用配方法求M的最小值；

a²－2ab＋2b²－2b＋2＝a²－2ab＋b²＋b²－2b＋1＋1＝（a－b）²＋（b－1）²＋1；

∵（a－b）²≥0，（b－1）²≥0，

∴当a＝b＝1时，M有最小值1．

请根据上述自主学习材料解决下列问题：

已知多项式 ， （为任意实数），试比较多项式与的大小．（    ）

比较与的大小.

已知为任意实数)，则M，N的大小关系为（   ）

设 ， ， 其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）

已知3x﹣y＝3a²﹣6a+9，x+y＝a²+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（   ）

若 ， ， 则与的大小关系为．

设A＝a+3，B＝a²﹣a+5，则A与B的大小关系是AB（填“＞，＝，＜”之一）

阅读下列材料：

材料一“a²≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如：

材料二我们在比较两个数或式的大小时常用“作差法”.

例如：若a-b>0，则a>b；a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b.

解决下列问题：

我们通常用作差法比较代数式大小.例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小.先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立.本题中因为M-N＝（2x+3）-（2x+1）＝2＞0，所以M＞N.

已知关于x的多项式 的最大值为5，则m的值可能为（   ）

请同学们学习材料①若 ， 则；② ． 解决以下问题： ， ， 当恒成立时，的取值范围是（ ）

已知方程可以配方成 ， 则的值为（ ）

用配方法解一元二次方程3x²+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）²＝b的形式，则a+b的值为（　　）

将一元二次方程x²﹣8x﹣5＝0化成（x+a）²＝b（a ， b为常数）的形式，则a ， b的值分别是（　　）

 把方程 x²+6x -5 = 0化成 (x+m)²=n的形式，则 m+n的值为（     ）

已知 则x+y的值为（ ）

试用配方法证明：代数式 的值不小于3．

若实数x，y，z满足求证：x=y.

已知A=a+2，B=2a²-3a+10，求证：无论a为何值，A<B恒成立．

 用配方法求证：代数式的值恒为正数．

已知在△ABC中，三边长a，b，c满足 a²+2b²+c²−2ab-2bc=0，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．

（阅读材料）把形如ax²+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a²≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用.

例如：利用配方法将x²﹣6x+8变形为a（x+m）²+n的形式，并把二次三项式分解因式.

配方：x²﹣6x+8

＝x²﹣6x+3²﹣3²+8

＝（x﹣3）²﹣1

分解因式：x²﹣6x+8

＝（x﹣3）²﹣1

＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）

＝（x﹣2）（x﹣4）

（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：