2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破2 等边三角形的探索类问题

如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B ， C重合），连接 ， 点E ， F分别在线段 ， 的延长线上，且 ， 点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（　　）

  

如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD=DE=DF．点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（ ）

如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， …都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…，其中点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， …，按此规律排下去，则点的坐标为（ ）

如图， ， 在上截取 ． 过点作 ， 交于点 ， 以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作 ， 交于点 ， 以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于（ ）

数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．

 （2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，CD= （请你直接写出结果）．

如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接 ， 作得到四边形 ， 它的周长记作；分别取的中点 ， 连接 ， 作 ， 得到四边形 ， 它的周长记作 ， …，照此规律作下去，则等于．

如图，∠MON=30°，点B₁在边OM上，且OB₁=2，过点B₁作B₁A₁⊥OM交ON于点A₁ ， 以A₁B₁为边在A₁B₁右侧作等边三角形A₁B₁C₁；过点C₁作OM的垂线分别交OM、ON于点B₂、A₂ ， 以A₂B₂为边在A₂B₂的右侧作等边三角形A₂B₂C₂；过点C₂作OM的垂线分别交OM、ON于点B₃、A₃ ， 以A₃B₃为边在A₃B₃的右侧作等边三角形A₃B₃C₃ ， …；按此规律进行下去，则△A_nB_n+1C_n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）

在平面直角坐标系中，将若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放.点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA₁→A₁A₂→A₂A₃→A₃A₄→A₄A₅…”的路线运动，设第n秒运动到点P_n（n为正整数），则点P₁₈的坐标是.

如图，在平面直角坐标系中，△AA₁C₁是边长为1的等边三角形，点C₁在y轴的正半轴上，以AA₂=2为边长画等边△AA₂C₂；以AA₃=4为边长画等边△AA₃C₃ ， …，按此规律继续画等边三角形，则点A_n的坐标为．

等边△ABC中，点E在AB上，点D在CA的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：

综合与实践

特例感知：

如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且 ， 以为边作等边三角形 ， 连接 ， 分别过点作 ， 过点作 ， 交于点 ， 连接与交于点 ．

   

我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．

 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，连接CD ， 过点A的射线AE交BC于点E ， 交CD于点F ， 当∠BAE＝∠ACD时，则必有BD＝CE ． 为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作∠BAE＝∠ACD ， 再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：

综合与探究

如图，在△ABC中，以AB ，  BC为边分别作等边△ABD和等边△BCE ， 连接AE和DC ．

探究题：如图：

数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：

探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等边三角形．

探究等边三角形“手拉手”问题.

在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.

在等边 的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为 外一点，且 ， ，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 的周长Q与等边 的周长L的关系.

综合与实践：

问题情境：

在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.变换条件如下：如图1，直线AB，AC，BC两两相交于A，B，C三点，得知△ABC是等边三角形，点E是直线AC上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线BC上，连接BE，EF，使EF=BE．

独立思考：

（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，

如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE.

如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD．聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！