2024年中考数学热点探究二 整体思想在求值中的运用

已知x-y=4， xy=5，则 的值为（ ）

如果代数式的值是 ， 那么代数式的值等于（ ）

若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）

 已知a是方程的一个解，则的值为（    ）

 若为正整数．且 ， 则的值为（ ）

若x、y二者满足等式 ， 且x、y互为倒数，则代数式的值为（ ）

若 ， 则代数式的值是（    ）

若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则的值是（   ）

已知m为方程的根，那么的值为（ ）

已知一列数的和 ， 且 ， 则的值是（ ）

 若 ， 代数式的值为  ．

已知 ， ， 则代数式．

给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式 ， 当时，可得 ， 计算得；请你再给x赋不同的值，可计算得．

图1，由两个相同的小长方形组成的图形周长为10，图2中在长方形ABCD内放置了若干个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为.

“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知是方程的解，则的值为．

已知：数a与b互为相反数，c与d互为倒数， ． 求式子的值．

先阅读下列材料，再解答问题：

材料：因式分解：(x+y)²+2(x+y)+1.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A²+2A+1=(A+1)².

再将“A”还原，得原式=(x+y+1)².

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：

整体代换是数学的一种思想方法，例如：已知 ， 求的值，我们将作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学学习中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.

尝试应用：

换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组 ， 按常规思路解方程组计算量较大．可设 ， ， 那么方程组可化为 ， 从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用 ， 解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：

阅读材料：

解方程： ． 我们可以将视为一个整体，然后设 ， 则 ， 原方程化为①，解得 ．

当时， ．

当时， ．

原方程的解为 ．

根据上面的解答，解决下面的问题：

阅读理解，并解决问题：

“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．

例：当代数式 的值为7时，求代数式 的值．

解：因为 ，所以 ．

所以．

以上方法是典型的整体代入法．

请根据阅读材料，解决下列问题：

两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S₁；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S₂

阅读下面材料，然后解答问题：

解方程：(x²-6)³-(x²-6)-2=0.

分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.

解：设 ， 则原方程换元为.

     或

解得

     或

解得：

请参考例题解法，解下列方程：