如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD是菱形．
（2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点．
四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．
小明的思路：①以AB为对称轴，画出的对称图形，点的对称点为点；
②以AC为对称轴，画出的对称图形，点的对称点为点；
③延长EB和FC相交于点；
④设 ， 建立关于的方程模型，从而求出AD的长.
按小明的思路探究并解答下列问题：
（Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小．
数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等．
【动手操作]如图，已知菱形 ， 求作点E ， 使得点E到三个顶点A ， D ， C的距离相等．小红同学设计如下作图步骤∶
①连接；
②分别以点A ， D为圆心，大于的长为半径分别在的上方与下方作弧：上方两弧交于点M ， 下方两弧交于点N ， 作直线交于点E ．
③连接 ， ， 则 ．
⑴请用尺规作图作出的平分线交于点；
⑵请用尺规作图作出线段的垂直平分线交于点 ， 交于点；
⑶连接和 ， 直接写出四边形的形状．
用一张长12cm宽5cm的矩形纸片折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（方案一），小丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（方案二）.谁折出的菱形面积更大？请你通过计算说明.
方案设计
方案1
方案2
裁剪方案示意图
说明
图中的正方形AEFG和正方形MNPO四个顶点都在原四边形的边上
测量数据
AD=9dm，CD=2dm，AB=14dm，∠A=∠D=90°；
图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
， ， ， ；
任务1：探寻边角
填空： ▲ ， ▲ ；
任务2：比较面积
计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践
若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ .
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点 ， ， 作直线交于点 ， 连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点 ．
【问题提出】
在矩形中， ， 求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接 ， 如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
图1 图2 图3 图4
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
可以猜想：DE//BC且DE=BC.
【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.
猜想
如图23.4.2，在中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：
， 且 ．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
【定理证明】
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
可以发现并证明菱形的一个判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图，在四边形中，ABCD且 ．
求证：四边形是平行四边形．
证明：连接 ．
【探究展示】小明发现， ， 并展示了如下的证明方法：
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ． (依据)
问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题．
