2015-2016学年上海市长宁区延安中学高三下学期开学数学试题

计算： =．

已知函数y= ，则它的定义域是．

已知tanθ=2，则sin2θ+sec²θ的值为．

复数z满足 =i，则|z|=．

若函数f（x）=8^x的图象经过点 ，则f^﹣1（a+2）=．

已知（ ﹣ ）⁵的展开式中含x 的项的系数为30，则实数a=．

不等式 ＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．

等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比为q（|q|＜1），满足a₂+a₃+…+a_n+…≤ ，则公比q的取值范围是．

设双曲线x²﹣y²=6的左右顶点分别为A₁、A₂ ， P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA₁、PA₂的斜率分别为k₁、k₂ ， 则k₁•k₂的值为．

从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数，则使得 ∈Z的概率为．

数列{a_n}满足a_n+1+（﹣1）ⁿa_n=2n﹣1，则{a_n}的前60项和为．

在三棱锥P﹣ABC中，∠APC=∠CPB=∠BPA= ，并且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是．

已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2^x﹣2，若同时满足条件：

①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；

②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．

则m的取值范围是．

如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量 =m +n （m，n∈R），则m+n的取值范围是．

下列命题是真命题的是（   ）

若a∈R，则“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（  ）

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N^*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数．有下列函数：

①f（x）=sin2x； 

②g（x）=x³；

③h（x）=（ ）^x；

④φ（x）=lnx．

其中是一阶整点函数有（   ） 个．

设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

已知在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30°的角．

已知函数f（x）=4 sinxcosx﹣4sin²x+1．

我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t、市场价格x（单位：元）与市场供应量P之间满足关系式：P=2 ，其中b，k为正常数，当t=0.75时，P关于x的函数的图象如图所示：

给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为 的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到F的距离为 ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁ ， l₂ ， 使得l₁ ， l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁ ， l₂分别交其“准圆”于点M，N．

①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁ ， l₂的方程；

②求证：|MN|为定值．

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n﹣2=2S_n﹣1+2^n﹣1（n≥3）．令 ．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若f（x）=2^x﹣1 ， 求证： （n≥1）；

（Ⅲ）令 （a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有 ；②对于任意的 ，均存在n₀∈N^* ， 使得n≥n₀时，T_n＞m．