人教版备考2023中考数学二轮复习 专题32 新定义问题

定义新运算“※”的运算法则为：当 ， 时， ． 例如： ． 那么的值是（       ）

在实数范围内规定新运算“”，其规则是： ． 已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是（  ）

定义： ， ， ， ， ， ， 例如： ， ， ， ， ， ， 则g(f(5，-2))=（ ）

中国人很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放着表示正数，斜放着表示负数，如图（1）表示 ． 按照这种表示法，如图（2）表示的是（  ）

已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和 ， 若存在正数n，使得 ， 则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（    ）

用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数和 ， 规定 ， 如 ， 则的值为（  ）

在新型冠状病毒防控战“疫”中，花溪榕筑花园小区利用如图①的建立了一个身份识别系统，图②是某个业主的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d算式a×2³+b×2²+c×2¹+d×2⁰的运算结果为该业主所居住房子的栋数号．例如，图②第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，通过计算得0×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰＝5，即可知该业主为5栋住户，小敏家住在11栋，则表示他家的识别图案是（    ）

对于实数a，b定义运算“”为 ， 例如 ， 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）

在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算 ， 将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（    ）

数学上，为了简便把1到n的连续n个自然数的和记作 ， 即；把1到n的连续n个自然数的乘积记作n！，即n！＝1×2×3×…×（n﹣1）×n；则的值为（    ）

形如的自然数(其中 n为正整数， ， ， 为中的数字)称为“单峰回文数”，不超过5位的“单峰回文数”的个数是（ ）

对于实数 ， 定义符号其意义为：当时，；当时， ． 例如： ， 若关于的函数 ， 则该函数的最大值是（   ）

张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为 ， 则另一边长是 ， 矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有 ， 解得 ， 这时矩形的周长最小，因此的最小值是 ． 模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（    ）．

记实数 ， ， ， 中的最大数为 ， 例如 ， 则函数的图象大致为（ ）

定义：对于一个数 ， 我们把称作的相伴数；若 ， 则；若 ， 则 ． 例 ， ；已知当 ，  时有 ， 则代数式的值为．

对于任何有理数，我们规定符号的意义是 ， 如当时，值为.

现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有 ， 则的值为．

利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得 ， 两边平方得 ， 所以 ， 即得到整系数方程： ． 仿照上述操作方法，完成下面的问题：当时，①得到的整系数方程为；②计算：．

新定义一种运算： ， 例如： ， 则．

如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.

示例： ， 即.

问题：如图

当时，n的值为.

对于实数a，b，定义运算“*”：； ， 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．

我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序实数对叫做点P在斜坐标系中的坐标．如图2，在斜坐标系中，已知点、点是线段上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式：．

阅读材料，求的值．

解：设 ， 将等式两边同时乘2，得 ， 所以 ， 即 ， 即请你仿照此方法解决下列问题：

求： ．

定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于的一元二次方程与是“友好方程”，求的值．

实际问题：

各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？

问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。

在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？

为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．

探究一：

在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？

第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．

第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．

综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有种不同的取法．

探究二：

在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？

第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．

第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．

综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有种不同的取法．

探究三：

在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）

探究四：

在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有      ▲ 种不同的取法．

探究五：

在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．

探究六：

在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．

问题解决：

①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有      ▲ 个；

②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有      ▲ 个．

阅读下列材料：让我们来规定一种运算：   ， 例如：   ， 再如：   ． 按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

我们规定：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形四边形，如图1，四边形中，若 ， ， 则称四边形是筝形四边形．