压轴题06 立体几何（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

作者UID:19310587

日期: 2024-12-27

三轮冲刺

单选题

已知等腰直角 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 上的动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 的位置，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .若点 $\text{[math]}$ 均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，则球 $\text{[math]}$ 表面积的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图）， $\text{[math]}$ 为底面圆的中心， $\text{[math]}$ 为截面的中心， $\text{[math]}$ 为截面上距离底面最小的点， $\text{[math]}$ 到圆柱底面的距离为1， $\text{[math]}$ 为截面图形弧上的一点，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到底面的距离是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知圆锥的底面半径为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位： $\text{[math]}$ ）为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在棱长为6的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的四个顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠成三棱锥 $\text{[math]}$ ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面BCD， $\text{[math]}$ 是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的四等分点（靠近点 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的四等分点（靠近点 $\text{[math]}$ ），过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作该正方体的截面，则该截面的周长是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个全等的等腰梯形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则此刍甍的外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为4，M，N分别是侧面 $\text{[math]}$ 和侧面 $\text{[math]}$ 的中心，过点M的平面 $\text{[math]}$ 与直线ND垂直，平面 $\text{[math]}$ 截正方体 $\text{[math]}$ 所得的截面记为S，则S的面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多选题

某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲， $\text{[math]}$ 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，设棱锥高为 $\text{[math]}$ ，体积为 $\text{[math]}$ ，现将容器以棱 $\text{[math]}$ 为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

已知 $\text{[math]}$ 为圆锥 $\text{[math]}$ 底面圆 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，圆锥 $\text{[math]}$ 的侧面积为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的重心.则下列命题中正确的有（）

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长均相等，其外接球的球心为O．点E满足 $\text{[math]}$ ，过点E作平行于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与棱 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则（）

勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝ $\text{[math]}$ ，则（）

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

如图，正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点P满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .则下列说法正确的是（）

如图，已知正三棱台 $\text{[math]}$ 的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面 $\text{[math]}$ 内运动（包含边界），且AP与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ，则（）

已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（）

填空题

三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的球面上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

在棱长为4的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .过三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为.

在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为底面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则下列命题中正确的序号为.

① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共面；

②三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积跟 $\text{[math]}$ 的取值无关；

③当 $\text{[math]}$ 时，过 $\text{[math]}$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $\text{[math]}$ ；

④ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长都为1，点 $\text{[math]}$ 在侧棱 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 的平面截该棱锥，得到截面多边形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的边数至多为， $\text{[math]}$ 的面积的最大值为.

在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，现有下面四个命题：

①点E到直线AB的距离为定值； ②直线DE与直线AC所成角为定值；

③三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球体积为定值； ④三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值．

其中所有真命题的序号是．

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，M、N分别是棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，P是棱 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的四等分点，过M、N、P三点的平面 $\text{[math]}$ 交棱 $\text{[math]}$ 于Q，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．若平面 $\text{[math]}$ 将正方体截成两部分体积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，顶点P在底面 $\text{[math]}$ 的投影为O，点O到侧面 $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 的距离均为d，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的取值范围为．

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点F是棱 $\text{[math]}$ 上的一个动点，平面 $\text{[math]}$ 交棱 $\text{[math]}$ 于点E，则下列正确说法的序号是.

①存在点F使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

②存在点F使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

③对于任意的点F，都有 $\text{[math]}$ ；

④对于任意的点F三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积均不变.

如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点E，F，G分别是棱BC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点P为底面A₁B₁C₁D₁上任意一点．若P与 $\text{[math]}$ 重合，则三棱锥E-PFG的体积是；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是．

如图直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量的模为；若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则该多面体的表面积为；点N轨迹的长度为．

在四面体ABCD中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为 $\text{[math]}$ ，四面体 $\text{[math]}$ 内切球的球心到点A的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

已知空间四边形 $\text{[math]}$ 的各边长及对角线BD的长度均为6平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作四边形 $\text{[math]}$ 外接球的截面﹐则截面面积最大值与最小值之比为.

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，一质点从 $\text{[math]}$ 点出发，沿长方体表面运动到达 $\text{[math]}$ 点处，则质点从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的最短距离为；若沿质点 $\text{[math]}$ 的最短运动路线截长方体，则所得截面的面积为.

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