【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第14题

日期: 2025-03-11 二轮复习来源：出卷网

原题

在正四棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则该棱台的体积为.

基础

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，E，F分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为.

如图，在正四棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为48，则该四棱台的体积为.

多面体 $\text{[math]}$ 的各顶点在半径为2的球面上， $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ，则多面体体积的最大值为.

如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积 $\text{[math]}$ .

提高

已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，侧棱长均为 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为．

已知直四棱柱 $\text{[math]}$ 的棱长均为2， $\text{[math]}$ ，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为．

在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是.

在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 内动点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为．

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 把正方体截成两部分体积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图为三棱锥 $\text{[math]}$ 的平面展开图，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，则该三棱锥的体积为．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上任意一点（不包括端点）， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上任意一点（不包括端点），且 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积取得最大值时， $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为．

正三棱锥 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，过 $\text{[math]}$ 作与棱 $\text{[math]}$ 平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

巅峰

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积与三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积之比为.

在三棱锥P-ABC中， $\text{[math]}$ ，点M，N分别是PB，BC的中点，且 $\text{[math]}$ ，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是．

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ .若四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为9，且其顶点均在球 $\text{[math]}$ 上，则当球 $\text{[math]}$ 的体积取得最小值时， $\text{[math]}$ ，此时球心 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离是.

正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足 $\text{[math]}$ ，记四面体ABCD的内切球为球 $\text{[math]}$ ，四面体PBCD的外接球为球 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，若空间中的动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是．（请用正确命题的序号作答）

①若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ；

④若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹构成的平面图形的面积为 $\text{[math]}$ ．

在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为底面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则下列命题中正确的序号为.

① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共面；

②三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积跟 $\text{[math]}$ 的取值无关；

③当 $\text{[math]}$ 时，过 $\text{[math]}$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $\text{[math]}$ ；

④ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板 $\text{[math]}$ 进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直角三角板 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 始终全等（假设直角三角板 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另两边的大小可变化）.现将直角三角板 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 放在平面 $\text{[math]}$ 内拼接，直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 也放在平面 $\text{[math]}$ 内，并使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，将直角三角板 $\text{[math]}$ 绕着 $\text{[math]}$ 旋转，使点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内的射影始终与点 $\text{[math]}$ 重合于点 $\text{[math]}$ ，如图②，则当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，直角三角板 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的余弦值为.

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