试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
可以估计出针与直线相交的概率为（精确到），由此估计的近似值为（精确到）．
小明进行了两次掷实心球训练．
1 第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/m
根据上述数据，实心球竖直高度最大值是m；
⑵第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系 ， 记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为 ， 第二次训练实心球的着陆点的水平距离为 ， 则（填“”，“”或“”）．
已知：如图，及外一点P ． 求作：过点P的的切线．
作法：
①连接 ， 分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N ， 作直线交于点T：
②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B；
③作直线 ， ．
所以直线 ， 就是所求作的的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：中，所对的圆周角为 ， 圆心角为 ．
求证： ．
证明：
情况一（如图1）：
点在的一边上．
．
，
即 ．
情况二（如图2）：
点在的内部．
情况三（如图3）：
点在的外部．
制作一个体积为 ， 底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3 ， 且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中
