备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第4章一元二次方程及其应用

下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）

 将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）

若 是关于方程 的两个实数根，则实数 的大小关系是（   ）

已知关于x的方程.

一元二次方程x²﹣3x+3＝0的根的情况是（ ）．

直线 不经过第二象限，则关于 的方程 实数解的个数是（    ）.

已知关于x的一元二次方程kx²﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ）

关于的一元二次方程 ， 当时，该方程的正根称为黄金分割数宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．

已知关于的方程（为常数，且），下列的值，哪个一定不是方程的解（ ）

若关于的一元二次方程的解为 ， 则关于的一元二次方程的解为（     ）

已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ， 则（    ）

三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：

第一步：将原方程变形为 ． 即 ．

第二步：构造一个长为 ， 宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．

第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．

第四步：

将大正方形边长用含的代数式表示为____．

小正方形边长为常数____，

长方形面积之和为常数____．

由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程____，两边开方可求得 ， ．  

当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小，从而得到原方程的两个根．

已知：关于的一元二次方程的两个根分别为 ， ， 求关于的一元二次方程的两根．

解：因为 ，

所以 ．

令 ， 得新方程 ．

因为新方程的解为 ， ， 所以 ， ， 所以原方程的两个根分别为 ， ．

这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”．

举例：用缩根法解方程 ．

解：因为 ， ， 所以 ， 令 ， 得新方程 ．

解新方程，得 ， ， 所以 ， ，

所以原方程的两个根分别为 ， ．

请利用上面材料中的缩根法解下列方程：

请阅读下列材料：

问题：已知方程 ， 求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为 ， 则 ， 所以 ， 把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为 ．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：

根据以下材料，完成题目．

材料一：数学家欧拉为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位 ， 规定 ． 当时，形如（ ， 为实数）的数统称为虚数．比如 ， ， ． 当时，为实数．

材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数 ， （其中 ， ， ， 为实数．且 ， ）有如下运算法则

材料三：关于的一元二次方程（ ， ， 为实数且a≠0）如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为 ．

解答以下问题：

电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（    ）

 某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元；下列所列方程正确的是（     ）

年糕饺是宁波的特色美食，其以年糕为皮，可咸可甜的馅料裹于其中，口感软糯平实．今有某店铺销售年糕饺，通过分析销售情况发现，年糕饺的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元．                                                                                

销售单价x（元/盒）	15	17
日销售量y（盒）	150	100

一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为．

年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为 ， 则可列方程为（ ）

新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的A汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现A汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.

如图，在一块长为 ， 宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 ， 设道路宽为 ， 则以下方程正确的是（    ）

某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25m，位置的墙最大可用长度为21m），另外两边用木栏围成，中间用木栏隔成两个小矩形并在如图所示的两处各留1m宽的门（不用木栏），建成后木栏总长50m．

  

如图，用总长为80米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD ，花圃中间有一条2米宽的人行通道，园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域，鲜花种植总面积为192平方米，花圃的一边靠墙，墙长20米，求AB和BC的长.

2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ）

某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有支球队参加比赛，则所列方程正确的是（ ）

如图所示，中， ， ， .

在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB=90°，BC= ， AC=b，再在斜边AB上截取连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.

 综合与实践

问题情景：小琴在延时服务剪纸课上发现了奇妙的数学知识，可以利用方程解决剪纸问题中的剩余面积问题．

  

若x为实数，且满足 ， 则（　　）

对于一元二次方程 ， 下列说法：

①若 ， 则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则；⑤存在实数 ， 使得 ．

其中正确的（    ）

对于一元二次方程 ， 下列说法：

①若 ， 则；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若c是方程的一个根，则一定有成立；

④若是一元二次方程的根，则其中正确的（  ）

已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）

对于一元二次方程 ， 下列说法：

若 ， 则方程必有一根为；

若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；

若方程两根为 ， 且满足 ， 则方程 ， 必有实根 ， ；

若是一元二次方程的根，则 ．

其中正确的（ ）