高中数学三轮复习（直击痛点）：专题16立体几何中范围和最值问题

作者UID:7319097

日期: 2024-07-07

三轮冲刺

选择题

如图，棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体表面BCC₁B₁上的一个动点，E ， F分别为BD₁的三等分点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知平面上两定点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则所有满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一个圆心在 $\text{[math]}$ 上，半径为 $\text{[math]}$ 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 表面上动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E ， F分别是侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长的最大值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的大小为 $\text{[math]}$ 为半平面 $\text{[math]}$ 内的两个点， $\text{[math]}$ 为半平面 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， $\text{[math]}$ 为圆柱上下底面的圆心， $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 为底面圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，若球的半径 $\text{[math]}$ ，则（）

A、球与圆柱的表面积之比为 $\text{[math]}$

B、平面 $\text{[math]}$ 截得球的截面面积取值范围为 $\text{[math]}$

C、四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为16

D、若 $\text{[math]}$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是表面积为 $\text{[math]}$ 的球面上四点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球表面积为 $\text{[math]}$ ，体积为 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

平面直角坐标系中，若两点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则称点S和点T保持了合理间距．正方形 $\text{[math]}$ 中，顶点 $\text{[math]}$ ，动点P，Q都在正方形 $\text{[math]}$ 内（包括边界），且点P在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则下列说法错误的是（）

A、若点P与点O，A，B都保持了合理间距，则点P的横坐标的取值范围是 $\text{[math]}$

B、若点Q与点O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积为6

C、若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最大值为6

D、若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最小值为 $\text{[math]}$

多项选择题

如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，E是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点M，N满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则（）

如图，棱长为6的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形． $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面 $\text{[math]}$ 内一点，则（）

已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 的棱长均为2，点D是棱 $\text{[math]}$ 上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（）

已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（）

如图，在边长为2的正方形AP₁P₂P₃中，线段BC的端点B，C分别在边P₁P₂ ， P₂P₃上滑动，且P₂B＝P₂C＝x。现将△AP₁B，△AP₃C分别沿AB，CA折起使点P₁ ， P₃重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC。现有以下结论：（）

如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，若球的半径 $\text{[math]}$ ，则（）

如图，圆锥 $\text{[math]}$ 内有一个内切球 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 与母线 $\text{[math]}$ 分别切于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 为圆锥底面圆的中心， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的一条直径（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），则下列说法正确的是（）

很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为 $\text{[math]}$ 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是（）

已知三棱锥D－ABC的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边 $\text{[math]}$ ， CD⊥BC，则（）

如图，圆锥 $\text{[math]}$ 的底面圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ，母线长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的动点，则下列结论正确的是（）

在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥 $\text{[math]}$ ，如图2所示，则下列结论中正确的是（）

填空题

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点M是棱BC的中点.

若正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为3，平面ABC内有一动点P到平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 的距离依次成等差数列，则点P在面 $\text{[math]}$ 内的轨迹的长度为.

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为3，动点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内，且AP与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为.

已知正四面体 $\text{[math]}$ 的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体 $\text{[math]}$ 表面上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，已知动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，沿外表面经过棱 $\text{[math]}$ 上一点到点 $\text{[math]}$ 的最短距离为 $\text{[math]}$ ，则该棱锥的外接球的体积为．

已知矩形 $\text{[math]}$ ，设E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ．现将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，设二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 是等腰三角形，则平面 $\text{[math]}$ 上任意一点到底面 $\text{[math]}$ 中心距离的最小值为.

如图，正四棱台 $\text{[math]}$ ，上下底面分别是边长为4，6的正方形，若 $\text{[math]}$ ，则该棱台外接球表面积的取值范围是．

解答题

如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ ， E为AB的中点．将 $\text{[math]}$ 沿DE折起，使A到达 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ．

如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ 是三棱锥 $\text{[math]}$ 的高，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O， $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 为该圆柱的轴截面， $\text{[math]}$ ，点E在底面圆周上，点G为 $\text{[math]}$ 的中点.

在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．

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