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选择题

代数之父——丢番图(Diophantus)是古希腊的大数学家，是第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人．丢番图的墓志铭与众不同，不是记叙文，而是一道数学题．对其墓志铭的解答激发了许多人学习数学的兴趣，其中一段大意为：他的一生幼年占 $\text{[math]}$ ，青少年占 $\text{[math]}$ ，又过了 $\text{[math]}$ 才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半．

下面是其墓志铭解答的一种方法：

解：设丢番图的寿命为x岁，根据题意得：

$\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ．

∴丢番图的寿命为84岁．

这种解答“墓志铭”体现的思想方法是（）

已知点A ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么线段 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

若 $\text{[math]}$ ，且m、n异号，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

定义一种运算“※”： $\text{[math]}$ （其中x ， y为任意实数）．当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 7

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

数轴上A、B两点对应的数分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， P为数轴上一点，若 $\text{[math]}$ ，则点P表示的数是．

一个等腰三角形两边的长分别为3和8，那么这个等腰三角形的周长是．

“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用，如：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．利用上述思想方法计算：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以原点 $\text{[math]}$ 为位似中心，相似比为 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 缩小，则点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标是．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的三等分点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

解答题

下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．

解方程组： $\text{[math]}$
解： $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 第一步
$\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 第二步
$\text{[math]}$ 第三步
$\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 第四步
所以，原方程组的解为 $\text{[math]}$ 第五步

阅读下列材料，完成后面任务：

计算： $\text{[math]}$ ．

解：原式 $\text{[math]}$ （第一步）

$\text{[math]}$ （第二步）

$\text{[math]}$ （第三步）

$\text{[math]}$ ．（第四步）

任务：

如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝ $\text{[math]}$ ∠AOB ， OD平分∠AOC ．

在 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数中，对于实数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值之差为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 则称此函数为“倍增函数”；

小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回，16分钟时到家．假设小东始终以100米/分的速度步行，两人离家的距离 $\text{[math]}$ （单位：米）与小东打完电话后的步行时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．

阅读下列材料，并完成相应的任务.

一元二次方程的几何解法

通过学习，我们知道可以用配方法、提公因式法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解 $\text{[math]}$ 的过程.

解：如图，构造一个以未知数x为边长的正方形，在某四条边上向外作长和宽分别x和 $\text{[math]}$ 的矩形，再把这个图补成边长为 $\text{[math]}$ 的正方形.

于是大正方形的面积为： $\text{[math]}$ ，

又已知 $\text{[math]}$ ，所以大正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，

于是大正方形的边长为8，因此： $\text{[math]}$ .

几何法求解一元二次方程，只能得到正数解.

任务：根据上述材料请你用几何方法求方程 $\text{[math]}$ 的正数解.要求如下：

若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为y_max ，最小值记为y_min ，且满足y_max﹣y_min＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“最值差函数”．

自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式： $\text{[math]}$ ＞0．

解：设 $\text{[math]}$ =0，解得： $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ =5，则抛物线y= $\text{[math]}$ 与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y= $\text{[math]}$ 的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即 $\text{[math]}$ ＞0，所以，一元二次不等式 $\text{[math]}$ ＞0的解集为：x＜0或x＞5．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

实践探究题

在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论“的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．

【提出问题】已知有理数x ， y ， z满足xyz＞0，求 $\text{[math]}$ 的值．

【解决问题】解：由题意，得x ， y ， z三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．

①当x ， y ， z都为正数，即x＞0，y＞0，z＞0时， $\text{[math]}$ ；

②当x ， y ， z中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，则 $\text{[math]}$ ．

综上所述， $\text{[math]}$ 的值为3或-1．

【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．例如：计算2（2m+n）-5（2m+n）+（2m+n）时，可将（2m+n）看成一个整体，合并同类项得-2（2m+n），再利用分配律去括号得-4m-2n ．

[阅读理解]若x满足（32-x）（x-12） = 100，求（32-x）²+ （x-12）²的值。

解；设32-x=a．x-12= b，则（32-x）（x-12）= ab= 100，a+b= （32-x） +（x-12） = 20，（32-x）²+（x-12）²=a²+b²= （a+b）²- 2ab = 20²-2×100=200．

我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．

[解决问题]

阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务.

小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式 $\text{[math]}$ 的解集？通过思考，小丽得到以下3种方法：

方法1方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，可得函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴的两个交点横坐标为 $\text{[math]}$ ，画出函数图象，观察该图象在 $\text{[math]}$ 轴下方的点，其横坐标的范围是不等式 $\text{[math]}$ 的解集.方法2不等式 $\text{[math]}$ 可变形为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，问题转化为研究函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象关系.画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集.方法3当 $\text{[math]}$ 时，不等式一定成立；当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，不等式变为 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，不等式变为 $\text{[math]}$ .问题转化为研究函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象关系 $\text{[math]}$

任务：

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