备考2024年中考数学核心素养专题五 几何图形的的阅读理解

阅读下列材料，①——④步中数学依据错误的是(　　)

如图，直线 ， ， 试说明： ．

解：因为 ，

根据“垂直的定义”，①

所以 ．

因为 ，

根据“同位角相等，两直线平行”，②

所以 ，

根据“等量代换”，③

所以 ，

根据“垂直的定义”，④

所以 ．

阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为2，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积大约是（   ）

阅读下面的材料：

定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中， ， 分别是边 ， 的中点． 求证： ， 且 ． 证明：延长到点 ， 使 ， 连接 ， …

甲、乙两人后续证明的部分思路如下：

甲：如图1，先证明 ， 再推理得出四边形是平行四边形．

乙：如图2，连接 ， ． 先后证明四边形 ， 分别是平行四边形．

下列判断正确的是（  ）

【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、 ， 求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法如图1，我们可以将绕点顺时针旋转得到 ， 连接 ， 可得为等边三角形，故 ， 由旋转可得 ， 因 ， 由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等．

【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点 ， ， ， 连接 ， ， ， 若 ， 求的最小值 ．

阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在中，已知 ， ， ， 由定理得 ， 代入数据计算求得 ．

请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：

已知：如图， ， ， ， ， ， 点是的中点，那么的长为．

阅读下面材料：

已知： ， 依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：以C为圆心，为半径画弧；

步骤2：以B为圆心，为半径画弧，两弧交于点D；

步骤3：连接 ， 交延长线于点E．

下列叙述正确的是．（填写序号）

①垂直平分线段；②平分；③；④ ．

阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形. 已知：两条线段a、b. 求作：菱形AMBN，使得其对角线分别等于b和2a.

小军的作法如下：

如图 (1)画一条线段AB等于b； (2)分别以A、B为圆心，大于 AB的长为半径， 在线段AB的上下各作两条弧，两弧相交于P、Q两点； (3)作直线PQ交AB于O点； (4)以O点为圆心，线段a的长为半径作两条弧，交直线PQ于M、N两点，连接AM、AN、BM、BN.所以四边形AMBN就是所求的菱形.

老师说：“小军的作法正确.”

该上面尺规作图作出菱形AMBN的依据是

请阅读下列材料，解答问题：

克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家.在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理. 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.

如图，正五边形ABCDE内接于 ， ，则对角线BD的长为.

阅读下列材料，并解答以下问题．

完成一件事有k类不同的方案，在第一类方案中有m₁个不同的方法，在第二类方案中有m₂个不同的方法，…，在第k类方案中有m_k个不同的方法，那么，完成这件事共有N=m₁+m₂+…+m_k种不同方法，这是分类加法计数原理．完成一件事有需要分成k个步骤，做第一步有m₁种不同方法，做第二步有m₂种不同方法，…，做第k步有m_k种不同方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×…×m_k种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．

（1）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进这件事（规定：必须向北或向东走），会有种不同的走法．

（2）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进，并禁止通过交叉点C这件事（规定：必须向北或向东走），有 种不同的走法．

阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和 ， 和的夹角为 ， 根据余弦定理有 ， 类似的可以得到关于和的关系式．已知在中， ， ， 是和的比例中项，那么的余弦值为．

“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．

根据对材料的理解解决以下问题∶

阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．

材料：三角形的内角平分线定理：

如图1，在中，平分 ， 交于点 ， 则 ．

下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过作 ， 交的延长线于点 ．

 阅读下面材料，并解决问题：

阅读材料：在数轴上，点分别表示实数两点之间的距离表示为 ， 则 ． 若 ， 则 ， 若 ， 则 ．

如图1，若点在点的右侧，则 ， 类似的，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为 ， 点的坐标为 ，

如图2，若轴，则 ．

如图3，若轴，则 ．

如图4，例如 ， 则 ．

请根据以上阅读材料，解决下面的问题：

阅读下面的材料：

小明遇到一个问题：如图1，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G ． 如果＝3，求的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H ， 那么可以得到△BAF∽△HEF ． 请回答：

学了正多边形后，我们知道可以用直尺和圆规作正方形和正六边形，但作正五边形和正七边形就不那么容易．现向同学们介绍如何用折纸的方法“编”出正多边形．

材料：等宽的纸条数根．

折法：如图1，将两根等宽的纸条对折，穿插后重叠部分为正方形．

如图2，取一根等宽的纸条打个结，拉紧，重叠部分即为正五边形．

如图3，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得正六边形．

如图4，把图2的纸条再打一个结，拉紧，重叠部分即为正七边形．

问题：

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．

我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．

下面是弦切角定理的部分证明过程：

证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．

如图②，AB与⊙O相切于点A ， 当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D ， 在上任取一点E ， 连接EC ， ED ， EA ， 则∠CED＝∠CAD．

任务：

阅读材料，回答问题：

小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ， AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

阅读下列一段文字，回答问题．

【材料阅读】平面内两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝ ．

例如．如图1，M（3，1），N（1，-2），则 ．

【直接应用】

阅读下面材料，并解决问题：

阅读材料，并回答下列问题：

如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．

［材料阅读]

用数形结合的方法，可以探究的值，其中 ．

例求的值．

方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知

的结果等于该正方形的面积，

即 ．

方法2：借助函数和的图象，观察图②可知

的结果等于 ， ， ， …，…等各条竖直线段的长度之和，

即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，

所以， ．

  

【实践应用】

【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率 ． 如图1，在中， ， 顶角的张率记作底边腰 ． 容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义的张率，例如， ， ， 请根据材料，完成以下问题：

如图2，是线段上的一动点（不与点 ， 重合），点 ， 分别是线段 ， 的中点，以 ， ， 为边分别在的同侧作等边三角形 ， ， ， 连接和 ．

在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的发散点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝3r，则称P′为点P关于⊙C的发散点.下图为点P及其关于⊙C的发散点P′的示意图.特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0.

根据上述材料，请你解决以下问题：