备考2024年中考数学探究性训练专题8 一元一次方程-组卷题库站

选择题

幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 16

B、 8

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

观察下列两行数：

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…

1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，…

探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）

填空题

甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动 $\text{[math]}$ 周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动 $\text{[math]}$ 周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇．

理论探究题

用※定义一种新运算：对于任意有理数a和b ，规定a※b＝ab²+2ab+a ，如1※2＝1×2²+2×1×2+1＝9

阅读下面的解题过程：

解方程：|x+3|=2．

解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2

解得x=﹣1，经检验x=﹣1是方程的解；

当x+3＜0，原方程可化为，﹣（x+3）=2

解得x=﹣5，经检验x=﹣5是方程的解．

所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5．

解答下面的两个问题：

（1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0；

（2）探究：当值a为何值时，方程|x﹣2|=a，

①无解；②只有一个解；③有两个解．

阅读下列材料：

问题：怎样将 $\text{[math]}$ 表示成分数？

小明的探究过程如下：

设 $\text{[math]}$ ①，

$\text{[math]}$ ②，

$\text{[math]}$ ③，

$\text{[math]}$ ④，

$\text{[math]}$ ⑤，

$\text{[math]}$ ⑥，

$\text{[math]}$ ⑦.

根据以上信息，回答下列问题：

定义：对任意一个两位数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 $\text{[math]}$ ，和与11的商为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．根据以上定义，回答下列问题：

用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定 $\text{[math]}$ ，如： $\text{[math]}$ ．

综合与实践

阅读材料，解答下列问题：

幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．

一般情况 $\text{[math]}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： $\text{[math]}$ .我们称使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数 $\text{[math]}$ 为“相伴数对”，记为 $\text{[math]}$ .

阅读材料：

我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果 $\text{[math]}$ ，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为 $\text{[math]}$ .

例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

则称数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是“和积等数对”.

根据上述材料，解决下列问题：

探究题：阅读下列材料，规定一种运 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，再如 $\text{[math]}$ ，按照这种运算的规定，请解答下列问题：

新定义题小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念:从左到右写下一个自然数,再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682.

请你探究，解决下列问题：

定义：如果两个一元一次方程的解之和为 $\text{[math]}$ ，我们就称这两个方程互为“阳光方程” $\text{[math]}$ 例如： $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，所以这两个方程互为“阳光方程”．

【实验与探究】根据教材“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题：

我们知道分数 $\text{[math]}$ 写为小数形式即为 $\text{[math]}$ ，反之，无限循环小数 $\text{[math]}$ 写成分数形式即 $\text{[math]}$ .一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？

【发现】先以无限循环小数 $\text{[math]}$ 为例进行讨论.

设 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可知， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .解方程 $\text{[math]}$ ，得.于是 $\text{[math]}$ .

【类比探究】再以无限循环小数 $\text{[math]}$ 为例，做进一步的讨论.

无限循环小数 $\text{[math]}$ ，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.

设 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可知， $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ .解方程，得 $\text{[math]}$ ，于是得 $\text{[math]}$

【解决问题】

我们规定，若关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，则称该方程为“天心方程”．例如， $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，则该方程 $\text{[math]}$ 就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题：

“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题.

阅读下列材料并解决有关问题：

知道： $\text{[math]}$ 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，

如化简代数式 $\text{[math]}$ 时，可令 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，分别求得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （称 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的零点值）.在有理数范围内，零点值 $\text{[math]}$ 和， $\text{[math]}$ 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 $\text{[math]}$ 种情况：（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ．从而化简代数式 $\text{[math]}$ 可分以下 $\text{[math]}$ 种情况：（1）当 $\text{[math]}$ 时，原式 $\text{[math]}$ （2）当 $\text{[math]}$ 时，原式 $\text{[math]}$ ；（3）当 $\text{[math]}$ 时，原式 $\text{[math]}$ ．综上所述，原式 $\text{[math]}$

通过以上阅读，请你解决以下问题：

定义：关于x的方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ （a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”

例如：方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ 互为“反对方程”．

定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．

数形结合探究题

操作探究：已知在纸面上有一数轴（如下图所示）左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”．

综合与探究

数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：

如图

【问题提出】已知∠BOC与∠AOC有共同的始边OC，且满足∠BOC＝2∠AOC，若∠AOC＝28°，求∠AOB的度数．

【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．

在图①中，当射线OA在∠BOC的内部时，由题意易得∠AOB＝28°；

在图②中，当射线OA在∠BOC的外部时，由题意易得∠AOB＝84°．

【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题

某实践小组设计宣传牌：

如图1是长方形宣传牌，长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，中间可以用来设计的部分是长方形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．四周空白部分的宽度相等，设四周宽度为 $\text{[math]}$ ；

如图2，为了美观，将长方形 $\text{[math]}$ 分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；

如图3，每个栏目划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为 $\text{[math]}$ ．

实践探究题

在学习“一元一次方程的应用”时．小明和小天在一起讨论下列问题：

某汽车队运送一批援助物资．若每辆车装 $\text{[math]}$ 吨，还剩下 $\text{[math]}$ 吨未装；若每辆车装 $\text{[math]}$ 吨，则最后一辆车还能装 $\text{[math]}$ 吨．这个车队有多少辆车？

列方程解应用题：

为了丰富社会实践活动，引导学生科学探究．学校组织七年级同学走进中国科技馆．亲近科学，感受科技魅力，来到科技馆大厅，同学们就被大厅里会“跳舞”的“小球矩阵”吸引住了（如图1）．白色小球全部由计算机精准控制，每一只小球可以“悬浮”在大厅上空的不同位置，演绎着曲线、曲面、平面、文字和三维图案等各种动态造型．

已知每个小球分别由独立的电机控制．图2，图3分别是9个小球可构成的两个造型，在每个造型中，相邻小球的高度差均为a米．为了使小球从造型一（如图2）变到造型二（如图3），控制电机使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧号小球同时运动，②，③，④小球向下运动，运动速度均为4米/秒；⑥，⑦，⑧号小球向上运动，运动速度均为3米/秒．当每个小球到达造型二的相应位置时就停止运动．已知⑦号小球比②号小球晚 $\text{[math]}$ 秒到达相应位置，问②号小球运动了多少米？