备考2024年中考数学探究性训练专题16 分段函数与函数动点问题-组卷题库站

选择题

某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额 $\text{[math]}$ ，与购书数量 $\text{[math]}$ 之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：

⑴小明说： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系为 $\text{[math]}$ ；

⑵小刚说： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系为 $\text{[math]}$ ；

⑶小聪说： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系在 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；在 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

⑷小斌说；我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系．

购买量/本	1	2	3	4	…	9	10	11	12	…
付款金额/元	8	16	24	32	…	72	80	86.4	92.8	…

其中，表示函数关系正确的个数有（）

填空题

小明同学在研究函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）时，得到以下四个结论：

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值0，没有最大值；

③该函数的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称；④若该函数的图象与直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）至少有3个交点，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论是．（请填写序号）

心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过实验分析，知学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：

$\text{[math]}$

有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的第分钟开始讲解这道题．

在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：

如图1，一根长为5米的木棍 $\text{[math]}$ 斜靠在一竖直的墙上， $\text{[math]}$ 为4米，如果木棍的顶端 $\text{[math]}$ 沿墙下滑 $\text{[math]}$ 米，底端向外移动 $\text{[math]}$ 米，下滑后的木棍记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的等式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为 $\text{[math]}$ ，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，

数形结合探究题

小飞哥根据学习“一次函数”时积累的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究，下面是小飞哥的探究过程，请补充完整：

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P为射线BA上一个动点，连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC。过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE。请用等式表示线段BE，BP，BC之间的数量关系。

小明根据学习函数的经验，对线段BE，BP，BC的长度之间的关系进行了探究。下面是小明的探究过程。请补充完整：

如图1，AB为半圆O的直径，半径的长为4cm，点C为半圆上一动点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，点D为弧AC的中点，连接DE，如果DE=2OE，求线段AE的长.

小何根据学习函数的经验，将此问题转化为函数问题解决.

小华假设AE的长度为xcm，线段DE的长度为ycm.

（当点C与点A重合时，AE的长度为0cm），对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.

下面是小何的探究过程，请补充完整：（说明：相关数据保留一位小数）.

如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm² ．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究.下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：

小航在学习中遇到这样一个问题：

如图，点C是 $\text{[math]}$ 上一动点，直径 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，O为AB的中点，连接OC，OD，当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求线段CD的长.

小航结合学习函数的经验探究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ cm，点D为AB边上的动点（点D不与点A，B重合），过点D作 $\text{[math]}$ 交直线AC于点E.在点D由点A到点B运动的过程中，设 $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm.根据学习函数的经验，可对函数y随x的变化而变化的情况进行了探究，请将探究过程补充完整：

若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.

小东同学根据函数的学习经验，对函数y = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 进行了探究，

下面是他的探究过程：

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，角的两边分别交射线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也重合）.设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ .

小刚根据学习函数的经验，对因变量 $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小刚的探究过程，请补充完整.

利用函数图象探究方程x|x-2|= $\text{[math]}$ 的实数根的个数．

在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程．

下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数 $\text{[math]}$ 的相关性质和应用．

如图1 ，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，小宁根据学习函数的经验，对变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系进行了如下探究．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ 厘米，点P从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N（点M在点N左边）.设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm.

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.

某数学小组对函数y₁＝ $\text{[math]}$ 图象和性质进行探究.当x＝4时，y₁＝0.

有这样一个问题：探究函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：

探究与应用

【探究发现】

某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：

点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x ， $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．随着x的变化， $\text{[math]}$ 的距离y会如何变化呢？

已知 $\text{[math]}$ 均是x的函数，下表是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值．

小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 $\text{[math]}$ 与x之间的变化规律，分别对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小聪的探究过程，请补充完整：

小星在学习中遇到这样一个问题：如图1 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心、 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中某条边的 $\text{[math]}$ 倍时，求 $\text{[math]}$ 的长.小星的探究过程如下：

⑴小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当 $\text{[math]}$ 时，通过推理计算可得 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到 $\text{[math]}$ 的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题.

⑵小星将线段 $\text{[math]}$ 的长度记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并分别对函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 随着自变量 $\text{[math]}$ 的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$		$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

①在探究过程中，小星发现当 $\text{[math]}$ 时，无须测量可以求出 $\text{[math]}$ 的长，此时 $\text{[math]}$ 的长约为 $\text{[math]}$ （结果精确到 $\text{[math]}$ .参考数据： $\text{[math]}$ ）.

②利用表格中的数据，小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象，请你根据上文中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象

⑶小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.

⑷请结合图象直接写出：当 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 倍时， $\text{[math]}$ 的长约为（结果精确到 $\text{[math]}$ ）.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，连结 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .小梦根据学习函数的经验，对 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的长度之间的关系进行了探究：

小颖根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图像与性质进行了探究下面是小颖的探究过程，请你补充完整

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D是 $\text{[math]}$ 边的中点，点E是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 的面积为y， $\text{[math]}$ 的长为x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了如下的数据：

请根据以上信息，解答下列问题：

x	0	3	6
y	3	0	3

八年级下册，我们曾经探究过“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数”之间的关系，学会了运用一次函数的图象可以解一元一次方程与一元一次不等式．例如：一次函数y=3x+2与x轴交点的横坐标是方程3x+2=0的解；一次函数y=3x+2在x轴上方部分图像的自变量取值范围是不等式3x+2>0的解集．

若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.

小亮在学习中遇到如下一个问题：

如图1，点 $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上一动点，线段AB=6，CD平分 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 $\text{[math]}$ 的长度作为自变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度都是 $\text{[math]}$ 的函数，分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .请将下面的探究过程补充完整：