2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练3 探索整式运算的规律-组卷题库站

选择题

计算： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测 $\text{[math]}$ 的个位数字是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

观察下列各式及其展开式

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

……

请你猜想（2x﹣1）⁸的展开式中含x²项的系数是（）

观察： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

据此规律，求 $\text{[math]}$ 的个位数字是（）

计算 $\text{[math]}$ ，结果的个位数字是（）

下列按一定规律排列的单项式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，．．，第 $\text{[math]}$ 个单项式是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

代数式 $\text{[math]}$ 的末尾数字是（）

如图所示的运算程序中，若开始输入的 $\text{[math]}$ 值为 $\text{[math]}$ ，我们发现第 $\text{[math]}$ 次输出的结果为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 次输出的结果为 $\text{[math]}$ ， ……，则第2023次输出的结果为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a₁＝1，a₂＝2．a₃＝3，a₄＝3，a₅＝6，a₆＝4，a₇＝10，a₈＝5…，则a₉₉+a₁₀₀的值为（　　）

观察：（x-1）（x+1）＝x²-1，（x-1）（x²+x+1）＝x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）＝x⁴-1，据此规律，当（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝0时，代数式x²⁰²²-1的值为（）

①3²﹣1²＝2×4

②5²﹣3²＝2×8

③7²﹣5²＝2×12……

那么第n（n为正整数）个等式为（）

A、 n²﹣（n﹣2）²＝2×（2n﹣2）

B、（n＋1）²﹣（n﹣1）²＝2×2n

C、（2n）²﹣（2n﹣2）²＝2×（4n﹣2）

D、（2n＋1）²﹣（2n﹣1）²＝2×4n

填空题

观察下列各式：

$\text{[math]}$ …………①，

$\text{[math]}$ …………②，

$\text{[math]}$ …………③，

……

探索以上式子的规律，试写出第n个等式：．

请先观察下列等式，再填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，通过观察归纳，写出第n个等式是：（n为正整数）

作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n个图形时，图形的面积（填写“会”或者“不会”）变化，图形的周长为．

观察：

$\text{[math]}$

你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来．．

为了求 $\text{[math]}$ 的值，可令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，仿照以上方法计算 $\text{[math]}$ 的值是 .

综合题

杨辉三角是一个由数字排列成等腰三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示 $\text{[math]}$ （此处 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 $\text{[math]}$ 组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

上图的构成规律你看懂了吗？

阅读下面的材料并填空：

①（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝1﹣ $\text{[math]}$ ，反过来，得1﹣ $\text{[math]}$ ＝（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ；

②（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝1﹣ $\text{[math]}$ ，反过来，得1﹣ $\text{[math]}$ ＝（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝ ▲ × ▲ ；

③（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＝1﹣ $\text{[math]}$ ，反过来，得1﹣ $\text{[math]}$ ＝ ▲ ＝ $\text{[math]}$ ；

利用上面的材料中的方法和结论计算下题：

（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）……（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）（1﹣ $\text{[math]}$ ）.

阅读下列材料，完成相应的任务：

三角形数

古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： $\text{[math]}$ ．

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；…

若a^m=aⁿ（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：

用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．

观察下列各式：

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

……

根据这一规律计算：

我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a＋b）⁰＝1，它只有一项，系数为1；（a＋b）¹＝a＋b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a＋b）²＝a²＋2ab＋b² ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a＋b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³ ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…

根据以上规律，解答下列问题：

认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）¹=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b² ，（a+b）³=（a+b）²（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³ ， …

下面我们依次对（a+b）ⁿ展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．

如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．