2018年高考数学提分专练：第20题 平面解析几何（解答题）

设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P₁（1，1），P₂（0，1），P₃（﹣1， ），P₄（1， ）中恰有三点在椭圆C上．

设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y²=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

在直角坐标系xOy中，曲线y=x²+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：

已知抛物线C：y²=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；

（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

已知椭圆 上动点 到两焦点 的距离之和为4，当点 运动到椭圆 的一个顶点时，直线 恰与以原点 为圆心，以椭圆 的离心率 为半径的圆相切.

已知椭圆 的离心率为 是它的一个顶点，过点 作圆 的切线 为切点，且 .

如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C： 的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．

如图，已知椭圆 （a＞b＞0）的左右顶点分别是A（﹣ ，0），B（ ，0），离心率为 ．设点P（a，t）（t≠0），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．

（Ⅰ）证明：OP⊥BC；

（Ⅱ）若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值．

如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足① = ，②直线AQ与BP的交点在椭圆E： + =1（a＞b＞0）上．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．

已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程．

（Ⅱ）若 ， 是椭圆 上两个不同的动点，且使 的角平分线垂直于 轴，试判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

在平面直角坐标系 中，点 ，圆 ，以动点P为圆心的圆经过点 ，且圆P与圆 内切.

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若直线l过点 ，且与曲线E交于 两点，则在x轴上是否存在一点 ，使得x轴平分 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

已知点E（﹣2，0），点P时圆F：（x﹣2）²+y²=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A、B两点，交y轴于点N，已知 =m ， =n ，求m+n的值．

已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y²=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y²=4x交于点B．

（Ⅰ）求点P的坐标；

（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁、A₂ ， 上、下顶点分别为B₂、B₁ ， O为坐标原点，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x²+y²= ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．