备考2024年中考数学核心素养专题二十一几何图形的存在性问题-组卷题库站

选择题

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 $\text{[math]}$ ；
②存在无数个矩形 $\text{[math]}$ ；
③存在无数个菱形 $\text{[math]}$ ；
④存在无数个正方形 $\text{[math]}$ ．其中正确的个数是（）

如图，一副三角板（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，顶点A重合，将 $\text{[math]}$ 绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（）

如图，直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以点B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，若在弧上存在点C使 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

题目：“如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P，Q分别是 $\text{[math]}$ 上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（）

甲：若 $\text{[math]}$ ，则在BC上存在2个点P，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似；

乙：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

如图所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，若要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足（）．

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别是 $\text{[math]}$ 的中点．将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 存在最大值为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 存在最小值为 $\text{[math]}$ ；④点P运动的路径长为 $\text{[math]}$ ．其中，正确的是（）

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 上一点（不含点A），O为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点F，点G为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．

甲：存在点E，使 $\text{[math]}$ ；

乙： $\text{[math]}$ 的面积存在最小值．

下列说法正确的是（）

两块完全相同的含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 重合在一起，将三角板 $\text{[math]}$ 绕直角顶点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，如图所示．以下结论错误的是（）

A、当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点恰好为 $\text{[math]}$ 中点．

B、当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恰好经过点 $\text{[math]}$ ．

C、在旋转过程中，存在某一时刻，使得 $\text{[math]}$ ．

D、在旋转过程中，始终存在 $\text{[math]}$ ．

某兴趣小组开展综合实践活动：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，动点 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位的速度从 $\text{[math]}$ 点出发，在三角形边上沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 时停止，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，经探究发现 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻 $\text{[math]}$ 对应的正方形DPEF的面积均相等，当 $\text{[math]}$ 时，则正方形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A、 3

B、 $\text{[math]}$

C、 4

D、 5

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点A在直线l上，以A为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形 $\text{[math]}$ 是矩形（点 $\text{[math]}$ 顺时针排列），则称矩形 $\text{[math]}$ 为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形 $\text{[math]}$ 为直线l的“理想矩形”.若点 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的“理想矩形”的面积为（）

A、 12

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2， ∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE= DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.有下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 MENF；

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.其中正确的是（填序号）.

已知 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，圆心距 $\text{[math]}$ ，如果在 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

如题图所示，在 $\text{[math]}$ 中存在一面积为 $\text{[math]}$ 的内切圆，其圆心为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

如图，在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ 若在正方形内还存在一点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 的距离之和的最小值为．

定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝ $\text{[math]}$ BC；②在函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）²-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为 $\text{[math]}$ 上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足 $\text{[math]}$ ，连结BF.当点E与点D重合时，BF的值为.点E在 $\text{[math]}$ 上运动过程中，BF存在最大值为.

解答题

如图所示，已知在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .在线段AB上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似?若存在，这样的点 $\text{[math]}$ 有几个?若不存在.请说明理由.

已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象过点 $\text{[math]}$ ，且对任意实数x，都有 $\text{[math]}$ .二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图象上的动点.在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有满足条件的点N的坐标.

平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于 $\text{[math]}$ ．

数学课上，老师给出题目：如图所示，在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D ， E分别是边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值？并说明理由．

嘉淇的想法是把 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

综合题

对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的线段 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“等幂三角形”，点R称为线段 $\text{[math]}$ 的“等幂点”．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ 给出如下定义：若边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别存在点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则称点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“翻折点”．

问题背景：如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为点D，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 绕点A旋转过程中，线段 $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？

在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴正半轴上存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （如图1），则称点P与点Q为 $\text{[math]}$ －关联点．

给定图形 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若图形 $\text{[math]}$ 上存在两个不重合的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点与点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点重合，则称点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于图形 $\text{[math]}$ 双对合.在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得数量上y＝x² ，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边．

实践探究题

已知P为△ABC所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，若存在一个三角形与△ABC相似（全等除外）那么就称P为△ABC的共相似点”根据“共相似点“是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点”，“边共相似点或“外共相似点”．

阅读材料，回答问题：

小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= $\text{[math]}$ ，AB=c=2，那么 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的关系．

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

阅读资料：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|²+|y₂﹣y₁|² ，所以A，B两点间的距离为AB= $\text{[math]}$ ．

我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x﹣0|²+|y﹣0|² ，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r² ．

问题拓展：

如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²　．

综合应用：

如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．

①证明AB是⊙P的切线；

②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

备考2024年中考数学核心素养专题二十一 几何图形的存在性问题

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