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选择题

文艺复兴时期，意大利艺术大师达·芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题.如图称为达·芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D，劣弧BD所在圆的圆心为点A或点C.若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 2

C、 π-1

D、 $\text{[math]}$

学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据题意，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，下列方程正确的是（　　）

小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：

观鸟记录年度总结

$\text{[math]}$ 年：观测鸟类 $\text{[math]}$ 种

$\text{[math]}$ 年：观测鸟类

$\text{[math]}$ 年：观测鸟类 $\text{[math]}$ 种

设小明从 $\text{[math]}$ 年到 $\text{[math]}$ 年观测鸟类种类数量的年平均增长率为 $\text{[math]}$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（）

拉力/N	0	1	2	3	4	5	6
弹簧长度/cm	10.0	12.0	14.0	16.0	18.0	20.0	22.0

如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为 $\text{[math]}$ 时，标准视力表中最大的“

”字高度为 $\text{[math]}$ ，当测试距离为 $\text{[math]}$ 时，最大的“

”字高度为（）mm

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

为探究浸种处理对花生种子萌发率的影响，九年级的生物小组同学取 $\text{[math]}$ 粒花生种子完成实验 $\text{[math]}$ 同学们将 $\text{[math]}$ 粒花生种子平均分成五组，获得如下花生种子萌发量数据，如表格．

组别处理	花生种子萌发量 $\text{[math]}$ 单位：粒 $\text{[math]}$
组别处理	第 $\text{[math]}$ 组	第 $\text{[math]}$ 组	第 $\text{[math]}$ 组	第 $\text{[math]}$ 组	第 $\text{[math]}$ 组
浸种 $\text{[math]}$ 小时、 $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

在温度 $\text{[math]}$ 的条件下，将 $\text{[math]}$ 粒种子浸种 $\text{[math]}$ 小时，萌发量大致为粒 $\text{[math]}$

如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，此时无人机在高地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°．测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是米．

雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，可以发现数学的研究对象一一抛物线 $\text{[math]}$ 在如图 $\text{[math]}$ 所示的平面直角坐标系中，伞柄在 $\text{[math]}$ 轴上，坐标原点 $\text{[math]}$ 为伞骨 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在抛物线上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称 $\text{[math]}$ 分米，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离是 $\text{[math]}$ 分米， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间的距离是 $\text{[math]}$ 分米 $\text{[math]}$ 分别延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则雨伞撑开时的最大直径 $\text{[math]}$ 的长为分米．

卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染中新患流感人数共有人.

某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．

实践探究题

城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神.某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下：

【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量.

【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪.其中测高仪 $\text{[math]}$ （如图②）为正方形木板，在顶点 $\text{[math]}$ 处用细线挂一个铅锤 $\text{[math]}$ .

【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与“摇橹人”最高点 $\text{[math]}$ 在同一条直线上.通过测量得到， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

【步骤四】计算“摇橹人”高度 $\text{[math]}$ .（结果精确到0.1m）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】.

【问题背景】

一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．

【问题背景】

水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.

【实验操作】

为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与飞行时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的数据，并确定了函数表达式为： $\text{[math]}$ .同时也收集了飞行高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与飞行时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：

飞行时间 $\text{[math]}$	0	2	4	6	8	…
飞行高度 $\text{[math]}$	0	10	16	18	16	…

综合与实践

主题：制作圆锥形生日帽．

素材：一张圆形纸板、装饰彩带．

步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．

步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．

在制作好的生日帽中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C是 $\text{[math]}$ 的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．

根据以下素材，探索完成任务

如何调整足球的发球方向
素材1	如图是某足球场的一部分，球门宽DE=CF=7m，高CD=EF=2.5m，小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD(即AC⊥CF)，AC=24m，足球运动的路线是抛物线的一部分.
素材2	如图，当足球运动到最高点 $\text{[math]}$ 时，高度为4.5m，即 $\text{[math]}$ ，此时水平距离 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为原点，直线BA为 $\text{[math]}$ 轴，建立平面直角坐标系.
素材3	距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF，拦网高HN=4m.
问题解决
任务1	结合素材1，2，求足球运动的高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式.
任务2	结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变此时足球能否进入球门?若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门
任务3	结合以上素材，小梅站在A处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点E处进入球门
上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门

综合与实践

【问题情境】某校兴趣小组在老师的指导下对一批花卉种子进行了人工培育，并针对这批种子的发芽率进行实践探究.

【实践发现】兴趣小组将不同数量种子的发芽数进行统计，并计算出发芽率，整理数据如下表所示：

种子数m	40	90	140	220	490	900	1200	2400
发芽数n	36	84	123	196	439	805	1092	2154
发芽率 $\text{[math]}$	0.90	0.93	0.88	0.89	0.90	0.89	0.91	0.90

【实践探究】分析数据如下：

	平均数	众数	中位数
发芽率	0.90	a	b

【问题解决】

根据以下素材，探索完成任务.

杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅.

素材1

某快递公司规定：(1)从当地寄送杨梅到 $\text{[math]}$ 市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收 $\text{[math]}$ 元/千克.

(2)寄送杨梅重量均为整数千克.

素材2

综合与实践

问题情境

小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小芗帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

数据整理

【项目化学习】

项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．

项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用。

实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．

任务一：数据收集

记录的数据如下：

运动时间x/s	0	2	4	6	8	10	…
运动速度v/（cm/s）	10	9	8	7	6	5	…
滑行距离y/cm	0	19	36	51	64	75	…

根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：

问题：如何将物品搬过直角过道?

情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是1.2m.矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为0.8m.

操作：

步骤	动作	目标
1	靠边	将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2	推移	矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点O在边AD上
3	旋转	如图2，将矩形ABCD绕点O旋转90°
4	推移	将矩形ABCD沿OT方向继续推移

探究：

教学实践活动： $\text{[math]}$ 班测量雷峰塔高度实践的相关数据
活动 $\text{[math]}$	如图， $\text{[math]}$ 点为塔顶，将 $\text{[math]}$ 根木棒立在 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 的连线交地面于 $\text{[math]}$ 点，同理将相同长度的木棒立在 $\text{[math]}$ 处，同时得到 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 若移动木棒使得 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 点的仰角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ．
活动 $\text{[math]}$	如图，小组 $\text{[math]}$ 设计了此测量方法，若 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则可以得到塔的高度大约为 ▲ $\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
总结与取优
老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高 $\text{[math]}$ 米的小树 $\text{[math]}$ ，发现水平地面上点 $\text{[math]}$ 、树顶和塔顶 $\text{[math]}$ 恰好在一条直线上，测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间有一个花圃无法测量，然后在 $\text{[math]}$ 处放置一个平面镜，沿 $\text{[math]}$ 后退，退到 $\text{[math]}$ 处恰好在平面中看到树顶 $\text{[math]}$ 的像，此时 $\text{[math]}$ 米，测量者眼睛到地面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，求出塔高 $\text{[math]}$ ．

综合与实践

车轮设计成圆形的数学道理

小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的 $\text{[math]}$ 为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：

将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．

综合与实践

优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1	如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．
信息2	如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y₂是由外边缘抛物线y₁向左平移得到，外边抛物线y₁最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
问题解决
任务1	确定浇灌方式	（1）求外边缘抛物线y₁的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
		（2）直接写出内边缘抛物线y与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2	提倡有效浇灌	（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．

$\text{[math]}$	1	1.5	2	4
$\text{[math]}$	3	4.5	6	12

2024年中考数学热点探究二十四 真实情境

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