2024年中考数学精选压轴题之四边形综合探究(一)

 如图，已知正方形ABCD ， AB＝8，点M为射线DC上的动点，射线AM交BD于E ， 交射线BC于F ， 过点C作CQ⊥CE ， 交AF于点Q ．

对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．

如图，的对角线 ， 交于点O ， 平分 ， 交于点E ， 且.

在平行四边形中， ， ， ．

在△ABC中，AC＝BC ， 点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF ， 点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G ， 连接AF ．

如图 ， 在矩形中， ， ， 点在边上，且 ， 动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作 ， 交边或边于点 ， 连接 ， 当点与点重合时，点停止运动设点的运动时间为秒

如图，在矩形中， ， ， 对角线 ， 交于点点从点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接并延长交于点 ， 过点作 ， 交于点 ， 设运动时间为 ， 解答下列问题：

已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形 ， 且点落在边上，连接交于点 ．

  

在中，B在C的左边， ， 将关于作轴对称，得四边形 ． P是对角线上的动点， E是直线上的动点， 且 ．

 如图1，在边长为2的正方形中，点是射线上一动点，连接 ， 以为边在直线右侧作正方形 ．

图1 图2

如图，在矩形中， ， ， 点E是边上一点，连接 ， 将沿折叠得到 ， 边 ， 分别交于点M ， N ．

如图，和分别位于两侧，为中点，连接 ， ．

    

综合与实践

 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

综合与探究．

【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．

问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形， ， ， 交于点 ， 探究与的数量关系．问题探究：

   

【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形ABCD中， ， 点E，F分别是BC，CD边上一点，若 ， 试猜想的形状，不用证明．

【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“”改为“”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点作 ， 求证

请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．

【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过作于点 ， 当EF的中点经过CG时，请直接写出EF的长度．

 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合两个直角三角形叫做共边直角三角形．

 综合与探究

问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动已知正方形中， ， 点是射线上一点不与点重合 ， 连接将绕点顺时针旋转得到 ， 连接 ．

定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．

操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为 ．

操作2：将沿过点的直线折叠，使点 ， 点分别落在边 ， 上，折痕为 ．

则四边形为矩形．

证明：设正方形的边长为1，则 ．

由折叠性质可知 ， ， 则四边形为矩形，

∴ ， ∴ ．

∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ，

∴四边形为矩形．

阅读以上内容，回答下列问题：

【提出问题】如图 ， 在等腰中， ， 分别以 ， 为边作等边和等边 ， 与相交于点 ， 连接 ．