浙教版数学七年级暑假知识训练：因式分解的应用

若a+b=3，则a²-b²+6b的值为（ ）

若m－n＝－6，mn＝7，则mn²－m²n的值是(　　)

若k为任意整数，则的值总能（       ）

运用因式分解计算：的结果为（       ）

如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a²b+ab²的值为(　　)

若 ， 则的值为（       ）

在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x²+mx，则m的值是（　　）

如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如 ， ， 即8，16均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为（       ）

小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： ， ， ， ， ， 分别表示下列六个字：中、爱、我、苗、游、美；现将因式分解，结果呈现的密码可能是（       ）

在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式 ， 因式分解的结果是 ， 若取 ， ， 则各个因式的值是： ， ， ， 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 ， 取 ， ， 用上述方法产生的密码不可能是（       ）

已知2x＝y﹣3，则代数式（2x﹣y）²﹣6（2x﹣y）+9的值为．

已知 ， 满足 ， 且 ， 为等腰三角形的边长，则的周长是．

已知（a+b）²-4（a+b）+4=0，则a+b的值为.

老师有个礼物(其中n≥1，且n为整数).现在将这些礼物平均分给若干个同学，恰好能分完，那么下列选项中：①4个；②12个；③(n+2)个；④(6n+8)个，可以是分得礼物的同学的个数的是(填序号).

配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．

定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，5是“完美数”，理由：因为 ， 所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；若是整数，k是常数 ， 且为“完美数”，则．

已知a-b=7，ab=-12.

若实数a，b满足方程组 ， 求a²b- ab²的值． 

用简便方法计算：

用简便方法计算：

 如图，把一段铁丝分成相等的三段，可围成边长为的等边三角形.若把这段铁丝分成相等的四段，则可围成边长为的正方形.求该段铁丝的长.

 如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字， 与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同， 那么我们把这样的自然数称为 “回文数”． 例如自然数 12321 ， 从最高位到个位依次排出的一串数字是  ，  从个位到最高位依次排出的一串数字仍是  ，  因此 12321 是一个“回文数”． 再如  ，  345543 都是 “回文数”．

请你直接写出 3 个四位 “回文数”， 再猜想： 任意一个四位 “回文数”能否被 11 整除？ 说明理由．

借助拼图我们可以解决整式乘法及因式分解的相关问题．

如图1，有 ， ， 三种类型的卡片各若干张，已知 ， 是边长分别为 ， 的正方形卡片，是长为 ， 宽为的长方形卡片．

活动一：利用 ， ， 三种类型的卡片拼成如图2所示的长方形，该长方形的面积可以用多项式表示为______，还可以用整式乘积的形式表示为______，利用上述面积的不同表达方式可以得到等式______．

活动二：利用 ， ， 三种类型的卡片拼成如图3所示的大长方形．

（1）依据活动一的方法，可以将进行因式分解为______；

（2）若每张型卡片的面积为 ， 2张型卡片和2张型卡片的面积和为 ， 求所拼成的大长方形的周长．

 阅读题

材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如， ， ， ， 则都是“完美数”；再如， ， （是整数），所以也是“完美数”．

材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定 ． 例如 ， 这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有 ．

请解答下列问题：

若两个正整数 ， ， 满足 ， 为自然数，则称为的“级”数.例如 ， ， ， 则2为3的“11级”数.

【阅读理解】

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若 ， 则；若 ， 则；若 ， 则 ．

对任意一个三位数 ， 如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“真知数”，将的百位数字调到个位数字的后面，可以得到一个新的三位数，再将新三位数的百位数字调到个位数字的后面，可以得到另一个新的三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为.例如，123是“真知数”，将123的百位数字调到个位数字的后面得到231，再将231的百位数字调到个位数字的后面得到312，则.

我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：(p，q是正整数，且)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定： ． 例如：12可以分解成或 ， 因为 ， 所以是12的最佳分解，所以 ． 如果一个两位正整数t，( ， x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，根据以上新定义，计算下列问题：

定义：如果一个数的平方等于 ， 记为 ， 这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，

例如：

；

；

；

根据以上信息，完成下列问题：