河北省石家庄市无极县文苑中学2024-2025学年高二上学期开学模拟检测数学试题-组卷题库站

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.赛每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

设复数 $\text{[math]}$ （i是虚数单位），则 $\text{[math]}$

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若将其沿 $\text{[math]}$ 折起使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，已知边长为2的正方体 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位： $\text{[math]}$ ）如下表：

上班时间	18	20	21	26	27	28	30	32	33	35	36	40
下班时间	16	17	19	22	25	27	28	30	30	32	36	37

则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（）

已知 $\text{[math]}$ 个数 $\text{[math]}$ 的平均数为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ，则数据 $\text{[math]}$ 的平均数和方差分别为（）

A、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

正方形 $\text{[math]}$ 与等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则 $\text{[math]}$

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

设点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

如图，在正六边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为其中心，则下列判断正确的是（）

（多选）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下列结论正确的是（）

填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

设向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 等于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 $\text{[math]}$ 榫卯起来.若正四棱柱的高为 $\text{[math]}$ ，底面正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留 $\text{[math]}$ ）

解答题：本题共5小题共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

已知复数z=3+bi（b $\text{[math]}$ R），且（1+3i）·z纯虚数

（1）求复数z

（2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w|

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．

分组	频数	频率
$\text{[math]}$	4	0.08
$\text{[math]}$		0.16
$\text{[math]}$		0.20
$\text{[math]}$	16
$\text{[math]}$
合计	50	1.00

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值；

（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.

已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ .