人教版数学九年级全册知识点训练营——四点共圆辅助圆模型-组卷题库站

夯实基础

如图，菱形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是AB边上的点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是BC上的一点， $\text{[math]}$ 是以点 $\text{[math]}$ 为直角顶点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 角的直角三角形，连结AG.当点 $\text{[math]}$ 在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（）

A、 2

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 4

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8，点E是AB的中点，以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB异侧），连接CD，则△ACD的面积是．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是 .

综合与实践：

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1所示，在线段 $\text{[math]}$ 同侧有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2所示，作经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，在劣弧 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

则 $\text{[math]}$ ，（依据 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所确定的 $\text{[math]}$ 上，（依据 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点在同一个圆上；

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）

依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）

①圆内接四边形对角互补；

②对角互补的四边形四个顶点共圆；

③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；

④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；

（2）如图3所示，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为______．

阅读下列材料，完成相应学习任务：

四点共圆的条件

我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：

已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．

求证：过点A、B、C、D可作一个圆．

证明：如图（1），假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．

如图（2）假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，设AD的延长线与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠AEC，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．

因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．

学习任务：

能力提升

如图，RT $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为顶点在 $\text{[math]}$ 外部作 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 绕着顶点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在运动过程中，下列结论：① $\text{[math]}$ ；②当点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 互相重合时， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．正确的有（）个

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为6，点E，F分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点M，N分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，P为线段 $\text{[math]}$ 上的点，在运动过程中，始终保持 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为．

如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE⊥AC于E交AB于F，若BC=2CD，AE=2，则线段BF=。

已知：在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，E为BC上一点，BE=2EC，DE=DC，∠ADC=60°。则AD的长为。

如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 任作一条直线 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得线段 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

拓展创新

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为边 $\text{[math]}$ 上一动点，点F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点G在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论：①在点E从点D运动到点A的过程中，点F运动的路径长为 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的最小值为16；③点G到 $\text{[math]}$ 的中点的距离为定值 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．其中正确的是（）

如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F ，连接AC交BH于点M ，连接BF交AC于点G ，交CD于点N ，连接BD ．则下列结论：

①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC $\text{[math]}$ ；④BN $\text{[math]}$ BM；⑤若AH $\text{[math]}$ HD ，则S_△_BND $\text{[math]}$ S_△_AHM ．其中正确的结论是（）

如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②∠CGF＝45°；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是 $\text{[math]}$ ．其中结论正确的序号有（　　）

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平面内的一点．

图1 图2 图3

综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.

探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上

如图2，作经过点A，C，D的 $\text{[math]}$ ，在劣弧 $\text{[math]}$ 上取一点E（不与A，C重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

阅读理解：

（1）问题初现：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 外一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

思路：若以点A为圆心， $\text{[math]}$ 为半径画 $\text{[math]}$ ，则点C、D必在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的圆心角，而 $\text{[math]}$ 是圆周角，从而可容易得到 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）问题解决：如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程．

（3）问题拓展：如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ．