【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第14题

作者UID:20003303

日期: 2024-12-24

二轮复习

原题

底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 .

基础

中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，右图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，忽略其壁厚，则该升斗的容积为 $\text{[math]}$ ．

已知正方体 $\text{[math]}$ 棱长为3，在正方体的顶点中，到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 的顶点可能是.（写出一个顶点即可）

在正四棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则该棱台的体积为.

多面体 $\text{[math]}$ 的各顶点在半径为2的球面上， $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ，则多面体体积的最大值为.

半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为

已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为.

已知圆锥的轴截面是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，则圆锥的体积为．

已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．

我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该“阳马”的外接球的表面积为．

棱长都是3的三棱锥的高等于.

提升

如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为 $\text{[math]}$ 的球面上，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外接圆半径.若该正四棱锥和长方体体积相等，则 $\text{[math]}$ .

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积与三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积之比为.

要做一个无盖的长方体箱子，其体积为 $\text{[math]}$ ，底面长方形长与宽的比为 $\text{[math]}$ ，则当它的宽为 $\text{[math]}$ 时，可使其表面积最小，最小表面积为 $\text{[math]}$ .

在棱长为a的正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为棱BC， $\text{[math]}$ 的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为.

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为6的等边三角形， $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值是；当二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积是.

正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足 $\text{[math]}$ ，记四面体ABCD的内切球为球 $\text{[math]}$ ，四面体PBCD的外接球为球 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

在正四棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

已知一个球与一个正三棱柱 $\text{[math]}$ 的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为 $\text{[math]}$ ，那么这个三棱柱的侧面积为，二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值为．

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，P是底面 $\text{[math]}$ 上一点．若 $\text{[math]}$ 平面BEF，则AP与平面 $\text{[math]}$ 成角的正弦值的取值范围是．

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 内一点，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度的范围为.

在边长为2的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的半径为.

培优

如图1，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， E为AB的中点，将 $\text{[math]}$ 沿DE折起，点A折起后的位置记为点 $\text{[math]}$ ，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ， M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：

①恒有 $\text{[math]}$ ； ②恒有 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

③三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为 $\text{[math]}$ ； ④存在某个位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

其中所有正确结论的序号是.

已知直四棱柱 $\text{[math]}$ 的棱长均为2， $\text{[math]}$ ，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上任意一点（不包括端点）， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上任意一点（不包括端点），且 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积取得最大值时， $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为．

正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝4，E为AB的中点，点F满足 $\text{[math]}$ ，动点M在侧面AA₁D₁D内运动，且MB∥平面D₁EF ，则|MD|的取值范围是．

如图，已知两矩形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在平面互相垂直， $\text{[math]}$ 是，若将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 翻折，使得点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上（即点 $\text{[math]}$ ），则当 $\text{[math]}$ 取最小值时，边 $\text{[math]}$ 的长是.

18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 $\text{[math]}$ 的统一体积公式 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 $\text{[math]}$ ，可得该球的体积为 $\text{[math]}$ ；已知正四棱锥的底面边长为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，可得该正四棱锥的体积为 $\text{[math]}$ .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ ，若用距离球心 $\text{[math]}$ 都为1cm的两个平行平面去截球 $\text{[math]}$ ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .

如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积取最小值时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为.

如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面BCD ， $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若A ， B ， C ， D四点在某个球面上，则该球体的表面积为.

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