备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第12章全等三角形（2）-组卷题库站

基础类型（平移，翻折，轴对称）

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的方向平移到 $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平移距离为 $\text{[math]}$ ，则阴影部分面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知：如图，点E、F在CD上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．

同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中， $\text{[math]}$ 角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明.

已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

求证： $\text{[math]}$ .

方法一：如图1，在AB上取一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接CD.

方法二：如图2，延长BC到 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接AD.

我选择方法 ▲ .

证明：

一线三等角型

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点B在第四象限时，则点B的坐标为．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

⑴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ °；

⑵当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

如图，CD是经过 $\text{[math]}$ 顶点C的一条直线， $\text{[math]}$ ， E ， F分别是直线CD上两点，且 $\text{[math]}$ .

图1 图2 图3

【模型介绍】

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ．我们把这个数学模型称为“ $\text{[math]}$ 字”模型或“一线三等角”模型．

【模型应用】

在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

倍长中线模型

八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧．

[发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

[探究方法]他们通过探究发现，延长 $\text{[math]}$ 至点E ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．可以证出 $\text{[math]}$ ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与 $\text{[math]}$ 转化到 $\text{[math]}$ 中，进而求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线 $\text{[math]}$ 延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．

[问题解决]

如下是某书中某一页的部分内容：

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 画直线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

证明： $\text{[math]}$ （已知）

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （两直线平行，内错角相等）.

在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （已证），

$\text{[math]}$ （已知），

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ （全等三角形的对应边相等）.

图（1）图（2）图（3）

十字架全等模型

已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形 $\text{[math]}$ 的两边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G ，且 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

角平分线模型

如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC ，则∠ACB的度数为．

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则下列结论中正确的个数（）
$\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

A、 $\text{[math]}$ 个

B、 $\text{[math]}$ 个

C、 $\text{[math]}$ 个

D、 $\text{[math]}$ 个

【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 $\text{[math]}$ 页的部分内容．

角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等．

已知：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的任何一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

请写出完整的证明过程： $\text{[math]}$

综合与实践

手拉手模型

如图，点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．