2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破6 一元二次方程的特殊解法

已知m，n都是实数，且 =0，则 的值为 （ ）

在分式方程=5中，设=y，可得到关于y的整式方程为（ ）

若 ， 则的值为（ ）

设（x+y）（x+2+y）-15=0，则x+y的值为（ ）

实数满足方程 ， 则的值等于（   ）

若 ， 则（   ）

已知x、y都是实数，且(x²+y²)(x²+y²+2)﹣3＝0，那么x²+y²的值是（ ）

我们知道方程的解是 ， 现给出另一个方程 ， 它的解是（ ）

已知 ， 则的值为（ ）．

已知方程x²+2x﹣3=0的解是x₁=1，x₂=﹣3，则另一个方程（x+3）²+2（x+3）﹣3=0的解是（   ）

若关于x的一元二次方程的解为 ， 则关于y的一元二次方程a(y+1)²+6(y+1)-4=0的解为.

若 ， 则代数式的值为

若 ， 则的值为.

若实数x满足 ， 则的值是．

已知 ， 则．

已知x为实数，且满足-12=0，那么-x+1的值为.

解方程： ． （用十字相乘法求解）

解一元二次方程：

用适当的方法解方程.

解方程：我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程

①       ②    

③    ④

阅读材料：解方程 ， 我们可以将视为一个整体，然后设 ， 则 ， 原方程化为 ， 解得 ， ．

当时， ， ，

当时， ， ，

原方程的解为 ， ， ，

根据上面的解答，解决下面的问题：

阅读材料：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4＝0，我们可以将x²-1看作一个整体，设x²-1＝y ， 则原方程可化为

y²-5y+4＝0①，解得y₁＝1，y₂＝4．

当y＝1时，x²-1＝1，∴x²＝2，∴x＝± ．

当y＝4时，x²-1＝4，x²＝5，∴x＝± ．

故原方程的解为x₁＝ ， x₂＝- ， x₃＝ ， x₄＝- ．

解答问题：

解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程时，可设 ， 则原方程可化为 ， 解得 ， ， 当时，则 ， 无实数根；当时，即 ， 则 ， 根据上述方法，完成下列问题：

解方程： ．

解：设 ， 则原方程变为： ， 解得， ， ．

当时， ， 解得 ， ；

当时， ， 解得 ， ；

∴原方程的解为： ， ， ， ．

上面解方程的方法简称换元法．

请利用上述方法，解方程：

已知多项式乘法（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.

【示例】分解因式：x²+5x+6=x²+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）.

先阅读，再解答下列问题.

已知（a²+b²）-8（a²+b²）²+16=0，求a²+b²的值.

错解：设（a²+b²）²=m，

则原式可化为m²-8m+16=0，

即（m-4）²=0，解得m=4.

由（a²+b²）²=4，得a²+b²=±2

阅读材料：

为解方程 ，我们可以将 看作一个整体，设 ，那么原方程可化为 ，解得 .当 时， ；当 时， ，故原方程的根为

换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组 ， 按常规思路解方程组计算量较大．可设 ， ， 那么方程组可化为 ， 从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用 ， 解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：

阅读下列材料：为解方程x⁴-x²-6=0，可将方程变形为(x²)²-x²-6=0，然后设x²=y，则(x²)²=y² ， 原方程化为y²-y-6=0①， 解①得y₁=-2，y₂=3．当y₁=-2时，x²=-2无意义，舍去；当y₂=3时，x²=3，解得x=±……原方程的解为x₁=  ， x₂=  ．

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题转化成简单的问题．