命题新趋势7 阅读理解——2024年北师大版数学八（下）期末复习

阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图1，及边的中点 ， 求作：平行四边形 ．

小静的作法如下：

在数学课上，老师提出如下问题：

①连接并延长，在延长线上截取；

②连接 ． 所以四边形就是所求作的平行四边形．

老师说：“小静的作法正确”．

请回答：小静的作法正确的理由是．

阅读与思考，同学们通过“真阅读工程”活动接触到很多课外阅读，其中有一段文章与勾股定理的内容相关：在直角坐标系中，已知两点的坐标是 ， ， 求M、N两点之间的距离，可以通过变形为计算．

试根据以上知识解决下列问题：

先阅读下面的一段文字，再解答问题．

已知：在平面直角坐标系中，任意两点 ， 其两点之间的距离公式为 ． 同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或 ．

阅读下列材料：

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：

因式分解：

．

阅读下列资料，解决问题：

定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： ， 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．

如： ．

（1）分式是　     　（填“真分式”或“假分式”）；

（2）将假分式分别化为带分式；

（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．

阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.

例1：“两两分组”：

解：原式

例2：“三一分组”：

解：原式

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

阅读理解：对于线段和点 ， 定义：若 ， 则称点为线段的“等距点”；特别地，若 ， 则称点是线段的“完美等距点”．

解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为 ， 点是直线上一动点．

阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日   星期日 用等面积法解决问题 周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的． 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式       ①       ． 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中， ， ， ， 求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为       ②       ． 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系．

任务：

先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式.

解∵ ， ∴ ， 可化为.

由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：① ， ②

解不等式组①，得 ， 解不等式组②，得 ，

∴的解集为或

即一元二次不等式的解集为x>2或.

阅读与思考，请阅读下列材料，并完成相应的任务．

旋转对称图形 观察右图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转 ， 旋转后的图形与旋转前的图形重合． 一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心．

阅读理解：已知 ， ， 试比较与的大小．

想法：求当 ， 则；当 ， 则；当 ， 则 ．

解： ， ．

用你学到的方法解决下列问题：

阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

     年月日星期一

今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：

 

I.若是边的中点，且 ， 则是边的中点．

II.若 ， 且 ， 则分别是边的中点．

III.若是边的中点，且 ， 则是边的中点．

任务：

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.

小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.

 

阅读与思考

若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点．若再满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点．

如图1，在四边形ABCD中，AC是一条对角线，CD=CA=CB，则点B与点D关于AC互为对顶点，若再满足∠B+∠D=90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点．

任务：

如图2，平行四边形ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE=AD=AC，∠ACB=70°．

请阅读下列材料，完成相应的任务：

无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．

如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作与 ， 其中 ， ， ． 求作：线段PC的中点E．

按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．

证明：连接CD．

，

（依据1），

，

， 同理， ．

……

阅读下面材料，并解决问题：

阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．

如图1， ， 其中 ， ， 此时，点与点重合．

请阅读下列材料：已知：如图（1）在中， ， 点D、E分别为线段上两动点，若.探究线段三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把绕点A顺时针旋转 ， 得到 ， 连接 ， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

阅读下面的解题过程：

已知 ， 求的值．

解：由已知可得 ， 则 ， 即 ．

      ，

      ．

上面材料中的解法叫做“倒数法”．

请你利用“倒数法”解下面的题目：

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1，⑴分别在射线 ， 上截取 ， （点 ， 不重合）；⑵分别作线段 ， 的垂直平分线 ， ， 交点为 ， 垂足分别为点 ， ； ⑶作射线 ， 射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知， ， ， ， 所以 ， 则 ， 即射线是平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， ⑴分别在射线 ， 上截取 ， （点C，E不重合）；⑵连接 ， ， 交点为P；（3）作射线 ． 射线即为的平分线． ……

任务：

请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：

因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是-3＜x＜3；

因为|x|＞3，从如图2所示数轴上看：小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜-3或x＞3．

解答下面的问题：

【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

若 ， 则；

若 ， 则；

若 ， 则.

反之也成立.

这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.

【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若 ， 则；若 ， 则；若 ， 则 ．

例：已知 ， ， 其中 ， 求证：

证明：

     

      ， 故

阅读以下材料：

因式分解： ，

解：令 ， 则原式： ，

再将“A”还原，得原式 ，

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”.

例：将分式表示成部分分式，解：设 ， 将等式右边通分，得 ， 依据题意，得 ， 解得 ， 所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：