命题新趋势9 方案设计——2024年浙教版数学八（下）期末复习-组卷题库站

解答题

现有一个用铁网围成的长、宽之比为3：1的猪舍，需将面积扩大 $\text{[math]}$ ，方案有两种．方案一：再另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍．请你参谋一下，你认为哪个方案比较好？为什么？

如图，在一块长为16m 、宽为12m的长方形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是原荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案. 同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用解方程的方法说明理由.

实践探究题

综合实践：

项目主题	“亚运主题”草坪设计
项目情境	为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一	请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一	（1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？ ①直观猜想：我认为 ▲ ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 ▲ 和 ▲ ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 ▲ 和 ▲ ．
活动任务二	为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二	（2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三	为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形 $\text{[math]}$ ，如图．
驱动问题三	（3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽 $\text{[math]}$ ，长 $\text{[math]}$ ． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．

根据素材，探索完成任务．

如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？
素材1	图1是一张等腰直角三角形彩纸， $\text{[math]}$ ．甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图截前出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在 $\text{[math]}$ 的边上．
素材2	甲同学按图2的方式栽剪，想裁出两边长之比为 $\text{[math]}$ 的长方形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出面积为 $\text{[math]}$ 的长方形；丙同学想裁出面积最大的正方形．
问题解决
任务1	请帮助甲同学计算此长方形面积
任务2	请求出符合乙同学裁剪方案的方形的长与宽．
任务3	请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大

【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活.

【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用 $\text{[math]}$ 长的篱笆围成一个矩形花园 $\text{[math]}$ （篱笆只围 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两边），设 $\text{[math]}$ .

【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.

【解决问题】思路：把矩形 $\text{[math]}$ 的面积S与边长x（即 $\text{[math]}$ 的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可.

党的二十大报告指出大自然是人类赖以生存发展的基本条件……垃圾分类、节能减排、废物再利用等必须从我们身边小事做起.为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：

方案设计	方案1	方案2
裁剪方案示意图
说明	图中的正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 四个顶点都在原四边形的边上
测量数据	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
任务1：探寻边长关系	填空： $\text{[math]}$ ▲ dm； $\text{[math]}$ = ▲
任务2：比较面积大小	计算或推理：比较正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 边长的大小
任务3：应用实践	若在四边形 $\text{[math]}$ 余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲

根据以下信息，探索完成任务．

如何设计种植方案？

素材1

小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践，现有A、B两种作物的相关信息如下表所示：

	A作物	B作物
每平方米种植株树(株)	2	10
单株产量(千克)	1.2	0.5

素材2

由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克．

素材3

若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植．

问题解决

单一种植(全部种植A作物)

任务1：明确数量关系

设每平方米增加x株A作物(x 为正整数)，则每平方米有 ▲ 株，单株产量为 ▲ 千克．(用含x的代数式表示)

任务2：计算产量

要使A作物每平方米产量为4.8千克，则每平方米应种植多少株？

单一种植(全部种植A作物)

任务3：规划种植方案

设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米10株种植B作物，当这100平方米总产量不低于496千克时，则a的取值范围是 ▲

先阅读下列材料，再解答问题．

尺规作图：

已知： $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 上一点，如图1．

求作：四边形 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

小明的做法如下：

⑴设计方案

先一个正确的草图，如图2，

再分析实现目标的具体方法．

⑵设计作图步骤，完成作图

作法：如图3，

①以点C为圆心、 $\text{[math]}$ 为半径画弧；

②再以点D为圆心、 $\text{[math]}$ 为半径画弧，两弧交于点F；

③连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．

∴四边形 $\text{[math]}$ 即为所求．

请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹

⑶推理论证

证明：∵ ，

∴四边形DBCF是平行四边形．（）（填推理依据）

【问题背景】

如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形 $\text{[math]}$ 进行如下操作：①分别以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长度为半径作弧，两弧相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；②将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 的对应点落在点 $\text{[math]}$ 处，作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

【问题提出】

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接 $\text{[math]}$ ，如图2．经过推理、计算可求出线段 $\text{[math]}$ 的长；

方案二：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 处，如图3．经过推理、计算可求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

请你任选其中一种方案求线段 $\text{[math]}$ 的长．

制定某品牌新能源汽车的销售方案
背景	随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材 $\text{[math]}$	某品牌新能源汽车 $\text{[math]}$ 月份销售量为 $\text{[math]}$ 万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增， $\text{[math]}$ 月份的销售量达到 $\text{[math]}$ 万辆车．
素材 $\text{[math]}$	新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量．
素材 $\text{[math]}$	中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为 $\text{[math]}$ 万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为 $\text{[math]}$ 万元/辆时，平均每周售出 $\text{[math]}$ 辆；售价每降低 $\text{[math]}$ 万元，平均每周多售出 $\text{[math]}$ 辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为 $\text{[math]}$ 万元．
问题解决
任务 $\text{[math]}$	求从 $\text{[math]}$ 月份到 $\text{[math]}$ 月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务 $\text{[math]}$	若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌销售量会超过 $\text{[math]}$ 月份销售量的两倍？
任务 $\text{[math]}$	根据素材 $\text{[math]}$ ，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．

综合与实践：

如何改造儿童友好公园？
素材1	在一块长与宽之比为 $\text{[math]}$ 的长方形场地 $\text{[math]}$ 上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地 $\text{[math]}$ 面积的一半．
素材2	为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地 $\text{[math]}$ 安装游乐设施．
问题解决
目标1	确定场地尺寸	求长方形 $\text{[math]}$ 的长和宽．
目标2	确定改造方案1	若剩余空地面积为场地 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数，请你设计一种方案： $\text{[math]}$ ________米， $\text{[math]}$ ________米．
目标2	确定改造方案2	若 $\text{[math]}$ 比 $\text{[math]}$ 大8米，求长方形空地 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

根据以下素材，探索完成任务．

如何估算游客人数和门票收入？
素材 $\text{[math]}$	今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数 $\text{[math]}$ 月份为 $\text{[math]}$ 万人， $\text{[math]}$ 月份为 $\text{[math]}$ 万人．
素材 $\text{[math]}$	若该景区仅有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测， $\text{[math]}$ 月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有 $\text{[math]}$ 万、 $\text{[math]}$ 万和 $\text{[math]}$ 万 $\text{[math]}$ 并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降 $\text{[math]}$ 元，将有 $\text{[math]}$ 人原计划购买甲种门票的游客和 $\text{[math]}$ 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．	购票方式	甲	乙	丙
		可游玩景点	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$
		门票价格	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 人	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 人	$\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 人
问题解决
任务 $\text{[math]}$	确定增长率	求 $\text{[math]}$ 月和 $\text{[math]}$ 月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．
任务 $\text{[math]}$	预计门票收入	若丙种门票价格下降 $\text{[math]}$ 元，求景区 $\text{[math]}$ 月份的门票总收入．
任务 $\text{[math]}$	拟定价格方案	将丙种门票价格下降多少元时，景区 $\text{[math]}$ 月份的门票总收入有 $\text{[math]}$ 万元？