命题新趋势8 综合与实践——2024年北师大版数学八（下）期末复习

综合与实践

特例感知：

如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且 ， 以为边作等边三角形 ， 连接 ， 分别过点作 ， 过点作 ， 交于点 ， 连接与交于点 ．

   

综合与实践

问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理．

问题1：如图1，在中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？

小明： ．

理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ， （依据1）

∴

又∵ ，

∴（依据2）．

∴

问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？

小亮： ， BC．

理由如下：…．

问题3：如图3，在中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发，你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？

小慧：BC， ．

…

数学思考：

阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．

如图1， ， 其中 ， ， 此时，点与点重合．

综合与实践：

【问题情境】

在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1， ， ， ．

综合与实践：

已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．

作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴……..      （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形

任务：

综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中 ， ， ， 点A，D在的同侧，点B，C在线段上，连接并延长交于点O，已知 ． 将从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（保持不动），旋转角为 ．

综合与实践

问题情境

在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．

操作发现

[探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．

[动手操作]如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'．请完成：

【问题背景】

某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中， ， 点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且 ， 过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．

同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：

解决思路1：如图2，过点P作于点G；

解决思路2：如图3，过点B作 ， 交的延长线于点H；

综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中， ， ． 将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D ， E分别是点B ， C的对应点），旋转角为 ， 设线段AD与BC相交于点M ， 线段DE分别交BC ， AC于点O ， N ．

【背景介绍】

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．

问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.