人教版九年级上学期数学第二十三章质量检测（高阶）-组卷题库站

选择题（每题3分，共30分）

如图，将含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 在x轴上，若 $\text{[math]}$ ，将三角板绕原点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，则点A的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 14

D、 $\text{[math]}$

如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，点B、D的对应点分别为点C、E，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 平移得到 $\text{[math]}$ （点A、C的对应点分别为点D、F），连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 6

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，O是等边 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ 可以由 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到；②点O与 $\text{[math]}$ 的距离为4；③点 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的有多少（　　）个

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 延长线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在下列结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

⑤ $\text{[math]}$ ，其中正确的结论有（）

A、 $\text{[math]}$ 个

B、 $\text{[math]}$ 个

C、 $\text{[math]}$ 个

D、 $\text{[math]}$ 个

如图，菱形 $\text{[math]}$ 的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，每次旋转 $\text{[math]}$ ，则第 $\text{[math]}$ 次旋转结束时，点B的坐标为（　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，将△ABD绕着点B顺时针旋转45°得到△BEF，EF交CD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH．则下列结论：①△BGE≌△BGC；②四边形EHCG是菱形；③△BDG的面积是8﹣4 $\text{[math]}$ ；④OH＝4﹣2 $\text{[math]}$ ．其中正确结论的序号是（）

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（-6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4 $\text{[math]}$ ， ∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

A、 3

B、 6 $\text{[math]}$ -4

C、 2 $\text{[math]}$ -2

D、 2

如图，已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一段抛物线 $\text{[math]}$ ，记为抛物线 $\text{[math]}$ ，它与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；将抛物线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ 得抛物线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；将抛物线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ ，旋转 $\text{[math]}$ 得抛物线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点 $\text{[math]}$ 在此“波浪线”上，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 9

D、 5

填空题（每题3分，共15分）

如图，已知△ABC ， ∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE ， DE与BC交于点P ．下列结论：

①∠EPC＝60°；

②AC与DE互相平分；

③PA+PC＝PE；

④PA平分∠BPE ，其中正确结论的是．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， O是 $\text{[math]}$ 边的中点，点E是正方形内一动点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值为．

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F是边 $\text{[math]}$ 上的动点，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿AF翻折至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交于点H，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 中点，P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，设 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；②点E到边 $\text{[math]}$ 的距离为m；③直线 $\text{[math]}$ 一定经过点 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．其中结论正确的是．（填序号即可）

如图，“心”形是由抛物线 $\text{[math]}$ 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．

作图题（共2题，共18分）

如图，△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边BA绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 角得到线段BP，连接PA，PC，过点P作 $\text{[math]}$ 于点D．

如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

解答题（共5题，共45分）

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为E ． F是点E关于 $\text{[math]}$ 的对称点，连接 $\text{[math]}$ ．

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

课本知识再现：

（Ⅰ）归纳（八年级上册课本 $\text{[math]}$ 页）：点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的点的坐标为 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的点的坐标为 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）归纳（九年级上册课本 $\text{[math]}$ 页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 $\text{[math]}$ 关于原点的对称点为 $\text{[math]}$ ．

小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点．

根据上面知识，求与已知直线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的直线的解析式；

解：设与直线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的直线上任意一点 $\text{[math]}$ ，

∵点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的点的坐标为 $\text{[math]}$ ，

又∵点 $\text{[math]}$ 必在直线 $\text{[math]}$ 上，

把点 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，得

$\text{[math]}$ ，

∴与已知直线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的直线的解析式为 $\text{[math]}$ ．

理解上面的解题过程，并完成下题：

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点D ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F ，当B、D、F重合时停止旋转．

【问题初探】（1）如图1， $\text{[math]}$ 为等边三角形内一点，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的大小.李明同学的思路是：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转60°，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，画出旋转后的图形，再连接 $\text{[math]}$ .将求 $\text{[math]}$ 分成求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求 $\text{[math]}$ 的大小；

【问题解决】（2）如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的点，满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

【问题拓展】（3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

实践探究题（共12分）

问题解决

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .你能求出 $\text{[math]}$ 的度数和等边 $\text{[math]}$ 的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

如图①将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 $\text{[math]}$ 是直角三角形，从而使问题得到解决.