2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破7 因式分解的应用

已知ab＝2，a-2b＝3，则4ab²-2a²b的值是（ ）

已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若 ， ， 则△ABC的周长是（ ）

已知、、是三角形的三条边，那么代数式的值（ ）

已知 ， ， 则的值为（ ）

如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a²b+ab²的值为（  ）

利用因式分解计算：3²⁰²²﹣3²⁰²¹的结果为（    ）

小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： ，a-b，5， ，a， ， 分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将 因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（   ）

我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法.例如： ， 根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 ， 则△ABC的形状是（   ）

因式分解：2xy+9﹣x²﹣y²＝．

利用因式分解计算：（﹣2）²⁰²²+（﹣2）²⁰²¹﹣2²⁰²⁰＝．

数3⁴⁸﹣1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是．

某工人师傅要制作一个底面为正方形的无盖长方体盒子，他在一块边长为a的正方形铁皮的四个角，各剪去一个边长为b（ ），如图所示，若 ， ，则剩余部分的面积是．

若一个四位数的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数称为“和差数”，令的千位数字为 ， 百位数字为 ， 十位数字为 ， 个位数字为 ， 记 ， 且 ， 则 ；当 ， 均为整数时，的最大值为．

对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“整倍数”．例如：∵ ， ∴135是9的“整倍数”，又如∵∴524不是11的“整倍数”．三位数A是12的“整倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且 ． 在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 ， 最小的两位数记为 ， 若为整数，求出满足条件的数A的最小值为．

如图

对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有 ． 反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：

我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释 ． 现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.

有些多项式的某些项可以通过适当地结合，（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如将因式分解。

原式。

请在这种方法的启发下，解决以下问题：

在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为 ， 当时， ， ， ， 此时可以得到六位数的数字密码171920．

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 ， 我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：

     

这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：

①用配方法分解因式： ．

解：原式：

② ， 利用配方法求M的最小值．

解：

∴当时，M有最小值4．

请根据上述材料解决下列问题：

我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．

例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是 ．

根据阅读材料用配方法解决下列问题；

我们来规定下面两种数：

①平方和数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝（左边数）²+（右边数）² ， 我们就称该整数是平方和数，例如：整数 ， 它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，∵ ， ∴是平方和数；再例如： ， ∵ ， ∴是一个平方和数；当然152，这两个数也肯定是平方和数；

②双倍积数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝2×左边数×右边数，我们称该整数是双倍积数；例如：整数 ， 它的中间数是4，左边数是1，右边数是2，∵ ， ∴是一个双倍积数；再例如： ， ∵ ， ∴是一个双倍积数；当然， ， 也是一个双倍积数；

注意：在下列问题中，我们统一用字母a表示一个正整数分出来的左边数，用字母b表示一个正整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：