斜率型定值型问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）-组卷题库站

斜率问题

已知，椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，两个焦点为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ） $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的两个动点，如果直线 $\text{[math]}$ 的斜率与 $\text{[math]}$ 的斜率互为相反数，证明直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值，并求出这个定值．

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点 $\text{[math]}$ ，且长轴长与短轴长的比是 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PAB面积的最大值．

如图，已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好为圆 $\text{[math]}$ 的切线，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率；

（Ⅱ）求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值.并求出当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时， $\text{[math]}$ 的面积.

斜率之和问题

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，且椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上.

如图，椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .

(I)求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(II)经过点 $\text{[math]}$ ，且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同两点 $\text{[math]}$ （均异于点 $\text{[math]}$ ），

问：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的上顶点 $\text{[math]}$ 与下顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两侧，且点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离的3倍．

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之和为定值．

已知圆 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 轴相切于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），且 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 任作一条直线与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

椭圆C: $\text{[math]}$ (a>b>0)的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过焦点 $\text{[math]}$ 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线MB的斜率为 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 为定值，并求出该定值.

已知：点 $\text{[math]}$ 是离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的一点．斜率为 $\text{[math]}$ 的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

已知椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦距为2，离心率为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ .

（I）求该椭圆的方程；

（II）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于两个不同点 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之和为定值.

斜率之差问题

椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

斜率之积问题

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上．

如图，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（Ⅱ）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值，并求此定值．

设 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的点且 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

斜率之商问题

如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交圆于上下两点A，B，点P为椭圆的右顶点， $\text{[math]}$ 分别交椭圆于E，F，G，记 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ .

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，延长 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，长轴长为4，离心率为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C交于A，B两点．

在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．相交于点M且它们的斜率之积是 $\text{[math]}$ ，记动点M的轨迹为曲线E．过点 $\text{[math]}$ 作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方．记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长为4，焦距为 $\text{[math]}$

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）过动点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 轴与点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 在第一象限)，且 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点.过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 为定值；

（ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率的最小值.

斜率综合问题

如图.矩形ABCD的长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，以A､B为左右焦点的椭圆 $\text{[math]}$ 恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点.