【规律发现】
请用含的式子填空:
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1、3、6、10…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第个三角数可以用且为整数)来表示.
图1 图2 图3
①
②
③
④
序号
……
梯形数
?
如图,按此规律摆放,
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形,第2个图案有7个正三角形,第3个图案有10个正三角形,…依此类推
【规律总结】
(探究)为了解决上面的数学问题,我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单情形入手,再逐次递进转化,最后猜想得出结论.不妨假设n边形的分割方案有 种.
探究一:用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形,共有多少种不同的分割方案?如图①,图②,显然,只有2种不同的分割方案.所以, .
探究二:用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形,共有多少种不同的分割方案?不妨把分割方案分成三类:
第1类:如图③,用点 , 与 连接,先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有 种不同的分割方案,所以,此类共有 种不同的分割方案.
第2类:如图④,用点 , 与 连接,把五边形分割成3个三角形,有1种不同的分割方案,可视为 种分割方案.
第3类:如图⑤,用点 , 与 连接,先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有f(4)种不同的分割方案,所以,此类共有f(4)种不同的分割方案.
所以, (种)
探究三:用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形,共有多少种不同的分割方案?不妨把分割方案分成四类:
第1类:如图⑥,用 , 与 连接,先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形,再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有 种不同的分割方案,所以,此类共有 种不同的分割方案.
第2类:如图⑦,用 , 与 连接,先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形.再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有 种不同的分割方案.所以,此类共有 种分割方案.
第3类:如图⑧,用 , 与 连接,先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形.再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有 种不同的分割方案.所以,此类共有 种分割方案.
第4类:如图,用 , 与 连接,先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形,再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有 种不同的分割方案.所以,此类共有 种分割方案.
所以,
(种)
探究四:用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形,则 与 的关系为 ,共有种不同的分割方案.
(结论)用 边形的对角线把 边形分割成 个三角形,共有多少种不同的分割方案 ?(直接写出 与 之间的关系式,不写解答过程)
(应用)用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形,共有多少种不同的分割方案?(应用上述结论中的关系式求解)
[问题探究]我们先从较为简单的情形入手.
如图2,由个小立方块组成的长方体中,长共有条线段,宽和高分别只有1条线段,所以图中共有个长方体.
如图3,由个小立方块组成的长方体中,长和宽分别有条线段,高有1条线段,所以图中共有个长方体.